Uma moeda viciada tem probabilidade de 0,7 de dar cara em um lançamento. Se lançarmos a moeda 10 vezes, qual a probabilidade de obter cara exatamente 7 vezes?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma moeda que é viciada, ou seja, tem 70% de chance de dar cara em cada lançamento. A gente vai lançar essa moeda 10 vezes e quer saber qual a probabilidade de sair exatamente 7 caras. Vamos usar a probabilidade binomial para resolver isso. Precisamos entender a fórmula da distribuição binomial e identificar os valores que vamos usar nela.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição binomial. Ela é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso. No nosso caso, “sucesso” é dar cara e “fracasso” é dar coroa. A fórmula para calcular a probabilidade de obter exatamente P(k) = binomnk times p^k times (1-p)^n-k sucessos em tentativas é:
Onde:
  • é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher sucessos em tentativas.
  • é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
  • é a probabilidade de fracasso em uma única tentativa.

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores que temos:
  • (número de lançamentos)
  • (número de caras que queremos)
  • (probabilidade de dar cara em um lançamento)

Passo 4

Vamos substituir esses valores na fórmula:
P(7) = binom107 times 0,7^7 times (1-0,7)^10-7
Primeiro, calculamos o coeficiente binomial binom107 = 10!7! times (10-7)! = 10!7! times 3! = 120 :
P(7) = 120 times 0,7^7 times 0,3^3
Agora, substituímos na fórmula:
0,7^7 approx 0,0823543
Vamos calcular cada parte:
0,3^3 = 0,027
P(7) = 120 times 0,0823543 times 0,027 approx 0,2673
Multiplicando tudo:

Resposta

A probabilidade de obter exatamente 7 caras em 10 lançamentos é de aproximadamente 26,73%.

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