Um mol de um gás ideal a
e
de pressão é expandido adiabaticamente a uma pressão final de
contra uma pressão oposta de
. Calcule a temperatura final, Q, W,
e
. (castelan)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a temperatura final (
), o calor trocado (
), o trabalho realizado (
), a variação de energia interna (
) e a variação da entalpia (
) de um mol de gás ideal que passa por uma expansão adiabática. Temos que considerar dois casos diferentes para a capacidade calorífica a volume constante (
): uma vez com
e outra com
. Para resolver isso, vamos precisar entender as leis dos gases ideais, especialmente em processos adiabáticos, e utilizar as fórmulas relacionadas à termodinâmica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma expansão adiabática. Em um processo adiabático, não há transferência de calor entre o sistema e o ambiente, ou seja,
. Isso simplifica nossos cálculos porque não precisamos nos preocupar com o calor trocado.
Passo 3
Como
, podemos usar a primeira lei da termodinâmica, que diz:
Como
, temos:
Isso nos mostra que a variação da energia interna é igual ao trabalho realizado pelo sistema.
Passo 4
Agora, vamos calcular a temperatura final
. Para processos adiabáticos em gases ideais, a relação entre as temperaturas e as pressões é dada por:
Onde
. Mas primeiro, precisamos encontrar
para cada caso.
Passo 5
Para o primeiro caso, temos
. Sabemos que
, então:
Assim,
fica:
Passo 6
Já para o segundo caso,
. Então:
E
será:
Passo 7
Vamos agora usar a relação adiabática para encontrar
. A fórmula pode ser rearranjada para:
Onde:
Passo 8
Calculando para o primeiro caso (
):
Passo 9
E para o segundo caso (
):
Passo 10
Agora, como
, podemos calcular
usando a relação
. Para um gás ideal, a variação da energia interna é dada por:
Onde
mol,
já foi definido para cada caso, e
.
Passo 11
Calculando
para o primeiro caso:
Passo 12
E para o segundo caso:
Passo 13
Como
, o trabalho realizado
será:
- Para o primeiro caso:
- Para o segundo caso:
Passo 14
Finalmente, vamos calcular a variação da entalpia
. Sabemos que:
Para um gás ideal,
. Então:
Usando
para cada caso.
Passo 15
Calculando
para ambos os casos:
- Primeiro caso:
- Segundo caso:
Resposta
Os resultados finais são:
Caso 1:
Caso 2: