Um mol de um gás ideal,
, percorre um motor através do seguinte ciclo:
se desenvolve isocoricamente,
adiabaticamente e
isobaricamente. As temperaturas nos pontos
e
são
e
, respectivamente. Desenhe o processo no diagrama PV.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um problema de termodinâmica envolvendo um ciclo de um gás ideal. O ciclo é composto por três processos diferentes: isocórico (volume constante), adiabático (sem troca de calor) e isobárico (pressão constante). As temperaturas nos pontos A, B e C são dadas como 300 K, 600 K e 455 K, respectivamente. Para resolver isso, vamos precisar usar as leis dos gases ideais e entender como cada processo afeta pressão e volume no diagrama PV (Pressão vs. Volume).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação dos gases ideais:
Onde:
- $ P $ é a pressão,
- $ V $ é o volume,
- $ n $ é a quantidade de mols,
- $ R $ é a constante dos gases (≈ 8,314 J/mol·K),
- $ T $ é a temperatura.
Como temos 1 mol de gás, $ n = 1 $. Vamos usar essa equação para relacionar pressão e volume nos diferentes pontos do ciclo.
Passo 3
Vamos analisar o processo de A para B, que é um processo isocórico (volume constante). Nesse caso, como $ V $ não muda, a relação entre pressão e temperatura é direta:
Sabemos que $ T_A = 300 $ K e $ T_B = 600 $ K. Assim, podemos encontrar a relação entre $ P_A $ e $ P_B $:
Passo 4
Agora, vamos para o processo de B para C, que é adiabático. A relação entre pressão e volume em um processo adiabático para um gás ideal é dada por:
Onde $ \gamma = \frac{5}{3} $. Como sabemos as temperaturas em B e C, podemos relacionar os volumes usando:
Como $ V_B = V_A $ (processo isocórico), podemos resolver para $ V_C $:
Passo 5
Por último, o processo de C para A é isobárico, ou seja, a pressão é constante. A relação entre volume e temperatura nesse processo é:
Já sabemos $ V_C $ em termos de $ V_A $:
Isso confirma que o ciclo retorna ao ponto A.
Passo 6
Agora, vamos desenhar o diagrama PV:
-
A para B (Isocórico): Linha vertical subindo de A para B, já que o volume não muda e a pressão aumenta de $ P_A $ para $ 2P_A $.
-
B para C (Adiabático): Curva descendente mais acentuada, representando a redução do volume de $ V_A $ para $ V_C $ enquanto a pressão diminui de $ 2P_A $ para um valor menor.
-
C para A (Isobárico): Linha horizontal voltando de C para A, já que a pressão permanece constante enquanto o volume diminui de $ V_C $ para $ V_A $.
Resposta
O diagrama PV do ciclo apresenta uma linha vertical ascendente de A para B (processo isocórico), seguida de uma curva adiabática descendente de B para C, e termina com uma linha horizontal de C para A (processo isobárico). Isso resulta em um ciclo fechado onde a pressão e o volume variam conforme descrito nos processos.