Os átomos de uma molécula diatômica, que compõem um gás em equilíbrio térmico à temperatura
, possuem separação média
e massa
. Calcule a frequência quadrática média,
, de rotação da molécula em torno de um eixo passando pelo centro e perpendicular ao seu eixo de simetria.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos uma molécula diatômica composta por dois átomos com massa $ m $ cada, separados por uma distância média $ d $. Essa molécula está em equilíbrio térmico a uma temperatura $ T $. A tarefa é calcular a frequência quadrática média de rotação, denotada por $ f_{qm} = \sqrt{\langle f^2 \rangle} $, quando a molécula gira em torno de um eixo que passa pelo centro e é perpendicular ao seu eixo de simetria.
Para resolver isso, vamos precisar das seguintes áreas da física:
- Mecânica Clássica, especificamente o conceito de momento de inércia.
- Termodinâmica, usando o Teorema da Equipartição de Energia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o momento de inércia ($ I $) da molécula. O momento de inércia é uma medida de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Para uma molécula diatômica, ele é dado por:
Aqui, $ \mu $ é a massa reduzida dos dois átomos, que para duas massas iguais é:
Substituindo:
Passo 3
Agora, vamos usar o Teorema da Equipartição de Energia, que diz que, em equilíbrio térmico, cada grau de liberdade contribui com
de energia, onde $ k $ é a constante de Boltzmann.
Para a rotação de uma molécula diatômica, temos dois graus de liberdade rotacionais (em torno de dois eixos perpendiculares ao eixo da molécula). Assim, a energia rotacional média ($ \langle E_{rot} \rangle $) é:
Passo 4
A energia rotacional também pode ser expressa em termos da frequência angular ($ \omega $):
Igualando as duas expressões para a energia rotacional média:
Resolvendo para $ \langle \omega^2 \rangle $:
Passo 5
Sabemos que a frequência angular ($ \omega
f $) por:
Portanto, substituindo na expressão de $ \langle \omega^2 \rangle $:
Simplificando:
Resolvendo para $ \langle f^2 \rangle $:
Passo 6
Agora, queremos a frequência quadrática média ($ f_{qm} $):
Substituindo o valor de $ I $ que encontramos anteriormente:
Resposta
A frequência quadrática média de rotação da molécula é dada por:
Onde:
- $ k $ é a constante de Boltzmann,
- $ T $ é a temperatura,
- $ m $ é a massa de cada átomo,
- $ d $ é a separação média entre os átomos.