Os átomos de uma molécula diatômica, que compõem um gás em equilíbrio térmico à temperatura T, possuem separação média d e massa m. Calcule a frequência quadrática média, fq m=raizlang<= f^2rang<=, de rotação da molécula em torno de um eixo passando pelo centro e perpendicular ao seu eixo de simetria.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos uma molécula diatômica composta por dois átomos com massa $ m $ cada, separados por uma distância média $ d $. Essa molécula está em equilíbrio térmico a uma temperatura $ T $. A tarefa é calcular a frequência quadrática média de rotação, denotada por $ f_{qm} = \sqrt{\langle f^2 \rangle} $, quando a molécula gira em torno de um eixo que passa pelo centro e é perpendicular ao seu eixo de simetria.
Para resolver isso, vamos precisar das seguintes áreas da física:
  • Mecânica Clássica, especificamente o conceito de momento de inércia.
  • Termodinâmica, usando o Teorema da Equipartição de Energia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento de inércia ($ I $) da molécula. O momento de inércia é uma medida de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Para uma molécula diatômica, ele é dado por:
I
Aqui, $ \mu $ é a massa reduzida dos dois átomos, que para duas massas iguais é:
I = mu d^2
Substituindo:
mu

Passo 3

Agora, vamos usar o Teorema da Equipartição de Energia, que diz que, em equilíbrio térmico, cada grau de liberdade contribui com 12kT de energia, onde $ k $ é a constante de Boltzmann.
Para a rotação de uma molécula diatômica, temos dois graus de liberdade rotacionais (em torno de dois eixos perpendiculares ao eixo da molécula). Assim, a energia rotacional média ($ \langle E_{rot} \rangle $) é:
k

Passo 4

A energia rotacional também pode ser expressa em termos da frequência angular ($ \omega $):
omega
Igualando as duas expressões para a energia rotacional média:
Erot = 12 I omega^2
Resolvendo para $ \langle \omega^2 \rangle $:
12 I lang<= omega^2 rang<= = kT

Passo 5

Sabemos que a frequência angular ($ \omega omega áàê f $) por:
f
Portanto, substituindo na expressão de $ \langle \omega^2 \rangle $:
omega = 2pi f
Simplificando:
lang<= omega^2 rang<=
Resolvendo para $ \langle f^2 \rangle $:
lang<= (2pi f)^2 rang<= = 2kTI

Passo 6

Agora, queremos a frequência quadrática média ($ f_{qm} $):
fqm
Substituindo o valor de $ I $ que encontramos anteriormente:
fqm = raizlang<= f^2 rang<= = raiz kT2pi^2 I

Resposta

A frequência quadrática média de rotação da molécula é dada por:
fqm = raiz k Tpi^2 m d^2
Onde:
  • $ k $ é a constante de Boltzmann,
  • $ T $ é a temperatura,
  • $ m $ é a massa de cada átomo,
  • $ d $ é a separação média entre os átomos.

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