Um mol de um gás ideal monoatômico evolui de um estado inicial à pressão p e volume V até um estado final à pressão 2 p e volume 2 V , através de dois diferentes processos. (I) Ele expande isotermicamente até dobrar o volume e, então sua pressão aumenta a volume constante até o estado final, (II). Ele é comprimido isotermicamente até duplicar a pressão, e então, seu volume aumenta isobaricamente até o estado final. Mostre a trajetória de cada processo em um diagrama p x V, e para cada processo calcule, em função de p e V: © A variação da energia interna do gás;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um mol de um gás ideal monoatômico que passa de um estado inicial com pressão e volume para um estado final com pressão e volume através de dois processos diferentes. A gente precisa descobrir como a energia interna do gás muda nesse trajeto para cada processo. Vamos precisar entender o que é energia interna e como ela se relaciona com pressão e volume no contexto de um gás ideal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é energia interna ( U = 32 n R T ) de um gás ideal monoatômico. Para esses gases, a energia interna depende apenas da temperatura, não da pressão ou do volume diretamente. A fórmula que usamos é:
Onde:
  • é a quantidade de mols
  • é a constante dos gases (aproximadamente 8,314 J/(mol·K))
  • é a temperatura em Kelvin
Então, para encontrar a variação da energia interna ( ), a gente precisa saber a diferença de temperatura entre o estado final e o inicial.

Passo 3

Agora, vamos conectar pressão, volume e temperatura usando a equação de estado do gás ideal:
p V = n R T
Isso significa que podemos expressar a temperatura em termos de pressão e volume:
T = p Vn R
Como estamos lidando com um mol ( T = p VR ), a fórmula fica:

Passo 4

Vamos calcular a temperatura inicial ( Ti = p VR ) e a temperatura final ( Tf = 2p times 2VR = 4p VR ) usando os estados fornecidos:
Estado inicial:
Estado final:

Passo 5

Agora, vamos calcular a variação da temperatura:
De

Passo 6

Com a variação de temperatura, podemos encontrar a variação da energia interna:
De
Substituindo De e :

Resposta

A variação da energia interna do gás é para ambos os processos.

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