Um mol de um gás que obedece a equação de estado de van der Waals experimenta uma expansão isotérmica reversível desde um volume vi até um volume vf. Qual foi a quantidade de calor transferido?

Passo 1

Neste exercício, vamos analisar a expansão isotérmica reversível de um mol de um gás que segue a equação de van der Waals. Nosso objetivo é determinar a quantidade de calor transferido durante esse processo. Para isso, precisaremos aplicar os conceitos de termodinâmica, especialmente a primeira lei da termodinâmica e a equação de estado de van der Waals.

Passo 2

Primeiramente, lembramos que em uma expansão isotérmica, a temperatura do sistema permanece constante. De acordo com a primeira lei da termodinâmica:
De
Aqui, De representa a variação da energia interna do gás, Q é a quantidade de calor transferido, e W é o trabalho realizado pelo gás.

Passo 3

Para um gás ideal, a energia interna depende apenas da temperatura. Como estamos em um processo isotérmico (temperatura constante), a variação da energia interna De é zero:
0 = Q - W implies Q = W
Isso significa que a quantidade de calor transferido Q é igual ao trabalho realizado W.

Passo 4

Agora, vamos calcular o trabalho realizado pelo gás durante a expansão. Para um gás que obedece à equação de van der Waals, temos:
( P + aV^2 )(V - b) = RT
Isolando P (pressão):
P = RTV - b - aV^2
O trabalho realizado durante a expansão isotérmica reversível é dado por:
W = integralVi^Vf P , dV
Substituindo a expressão de P:
W = integralVi^Vf ( RTV - b - aV^2 ) dV

Passo 5

Vamos resolver essa integral separadamente:
W = RT integralVi^Vf 1V - b , dV - a integralVi^Vf 1V^2 , dV
Integrando cada termo:
W = RT ln( Vf - bVi - b ) - a ( 1Vf - 1Vi )

Resposta

A quantidade de calor transferido durante a expansão isotérmica reversível é:
Q = RT ln( Vf - bVi - b ) - a ( 1Vf - 1Vi )

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