Um gás obedece a equação P(v-b)=R T onde b e CV são constantes. Mostre que:
a. u é função apenas de T.
b. Uma relação que se mantém durante um processo adiabático e:
P(v-b)^gamma= constante

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação que descreve o comportamento de um gás: $ P(v - b) = R T $. Aqui, $ P $ é a pressão, $ v $ é o volume específico, $ R $ é a constante dos gases e $ T $ é a temperatura. Além disso, temos $ b $ e $ C_V $ como constantes. O que precisamos fazer é:
a. Mostrar que a energia interna $ u $ depende apenas da temperatura $ T $.
b. Encontrar uma relação que se mantém durante um processo adiabático, que é $ P(v - b)^{\gamma} = constante $.
Então, vamos usar conceitos de termodinâmica, como as primeiras leis e processos adiabáticos, além de manipular a equação dada para chegar nas respostas.

Passo 2

Parte a: Mostrar que $ u $ é função apenas de $ T $.
Primeiro, lembramos que, na termodinâmica, a energia interna $ u $ de um gás ideal depende apenas da temperatura. Vamos ver se isso também vale para o gás descrito pela nossa equação $ P(v - b) = R T $.
Sabemos que a energia interna pode ser relacionada ao calor específico a volume constante ($ C_V $) pela relação:
u
Isso indica que qualquer variação na energia interna depende apenas da variação da temperatura, já que $ C_V $ é constante.
Portanto, integrando essa relação, temos:
T
Isso mostra que $ u $ é função apenas de $ T $, independentemente de $ P $ ou $ v $.

Passo 3

Parte b: Encontrar a relação para um processo adiabático $ P(v - b)^{\gamma} = constante $.
Em um processo adiabático, não há troca de calor com o ambiente, ou seja, $ Q = 0 $. A primeira lei da termodinâmica nos diz:
P(v - b)^gamma = constante
Onde $ dU $ é a variação da energia interna e $ \delta W = P dv $ é o trabalho realizado.
Para processos adiabáticos, temos a relação:
Q = 0
Onde $ \gamma = \frac{C_P}{C_V} $.
No nosso caso, a equação do gás é modificada para $ P(v - b) = R T $. Para adaptar a relação adiabática, substituímos $ v $ por $ v - b $:
dU = de
Essa é a relação que se mantém durante um processo adiabático para o gás dado.

Resposta

a. A energia interna $ u $ é função apenas da temperatura $ T $.
b. Durante um processo adiabático, a relação $ P(v - b)^{\gamma} = constante $ se mantém.

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