Seja o seguinte modelo PL
min 1000 x1+1000 x2+1000 x3 & st & >= 3 x1 & >= 3 3 x1+4 x2 & >= 30 3 x1+10 x3 & >= 30 x1+x2+x3 & <= 10 x1, x2, x3 & >= 0
Resolva o modelo usando o Tableu Simplex e discuta a solução encontrada

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de Programação Linear juntos! A gente quer minimizar o custo total, que é dado por 1000x1 + 1000x2 + 1000x3. Para isso, temos algumas restrições que as variáveis x1, x2 e x3 precisam respeitar. Vamos usar o método do Tableau Simplex para encontrar a melhor solução.

Passo 2

Primeiro, precisamos organizar nosso problema no formato padrão da Programação Linear. Isso envolve transformar todas as desigualdades em igualdades, adicionando variáveis de folga quando necessário.

Passo 3

Vamos listar as restrições que temos:
  1. x1 >= 3
  2. 3x1 + 4x2 >= 30
  3. 3x1 + 10x3 >= 30
  4. x1 + x2 + x3 <= 10
  5. x1, x2, x3 >= 0

Passo 4

Como temos desigualdades do tipo “maior ou igual”, vamos transformar elas em igualdades adicionando variáveis de excesso. Para a desigualdade “menor ou igual”, adicionamos uma variável de folga.
  1. x1 - s1 = 3 (onde s1 é a variável de excesso)
  2. 3x1 + 4x2 - s2 = 30 (onde s2 é a variável de excesso)
  3. 3x1 + 10x3 - s3 = 30 (onde s3 é a variável de excesso)
  4. x1 + x2 + x3 + s4 = 10 (onde s4 é a variável de folga)

Passo 5

Agora, vamos montar o Tableau Simplex inicial com essas equações. O objetivo é minimizar a função custo, então configuramos o tableau para esse propósito.
|c|cccccc|c| hline & x1 & x2 & x3 & s1 & s2 & s3 & s4 & Solução hline Equação 1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 3 Equação 2 & 3 & 4 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 30 Equação 3 & 3 & 0 & 10 & 0 & 0 & -1 & 0 & 30 Equação 4 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 10 hline Custo & 1000 & 1000 & 1000 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 hline çãçãçãçãçã

Passo 6

O próximo passo é identificar a variável de entrada e a variável de saída para realizar as operações do Simplex. Geralmente, escolhemos a coluna com o maior coeficiente positivo na linha de custo para a entrada. Nesse caso, todas as variáveis têm o mesmo coeficiente, então podemos escolher qualquer uma.
Vamos escolher x1 como a variável de entrada.

Passo 7

Para determinar a variável de saída, dividimos os valores da coluna de solução pelos coeficientes positivos da coluna de entrada ( x1). Olhamos para a menor razão positiva:
  • Equação 1: 3 / 1 = 3
  • Equação 2: 30 / 3 = 10
  • Equação 3: 30 / 3 = 10
  • Equação 4: 10 / 1 = 10
A menor razão é 3, então a Equação 1 é a variável de saída.

Passo 8

Agora, vamos pivotar na célula onde a variável de entrada x1 e a variável de saída se cruzam (linha 1, coluna x1). Isso significa que x1 vai entrar na base e s1 vai sair.
Após o pivô, atualizamos o tableau:
|c|cccccc|c| hline & x1 & x2 & x3 & s1 & s2 & s3 & s4 & Solução hline Equação 1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 3 Equação 2 & 0 & 4 & 0 & 3 & -1 & 0 & 0 & 21 Equação 3 & 0 & 0 & 10 & 3 & 0 & -1 & 0 & 21 Equação 4 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 7 hline Custo & 0 & 1000 & 1000 & 1000 & 0 & 0 & 0 & -3000 hline çãçãçãçãçã

Passo 9

Analisamos novamente a linha de custo. Se todos os coeficientes forem menores ou iguais a zero, encontramos a solução ótima. Observe que ainda temos coeficientes positivos ( 1000), então precisamos continuar.
Escolhemos x2 como a próxima variável de entrada.

Passo 10

Determinar a variável de saída:
  • Equação 2: 21 / 4 = 5.25
  • Equação 4: 7 / 1 = 7
A menor razão é 5.25, então a Equação 2 é a variável de saída.

Passo 11

Pivotamos na célula onde x2 entra e na Equação 2 sai:
Após o pivô, o novo tableau fica:
|c|cccccc|c| hline & x1 & x2 & x3 & s1 & s2 & s3 & s4 & Solução hline Equação 1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 3 Equação 2 & 0 & 1 & 0 & 34 & -14 & 0 & 0 & 5.25 Equação 3 & 0 & 0 & 10 & 3 & 0 & -1 & 0 & 21 Equação 4 & 0 & 0 & 1 & 14 & 14 & 0 & 1 & 1.75 hline Custo & 0 & 0 & 1000 & 750 & 250 & 0 & 0 & -1500 hline çãçãçãçãçã

Passo 12

Novamente, verificamos a linha de custo. Ainda há coeficientes positivos ( 1000), então continuamos.
Escolhemos x3 como a próxima variável de entrada.

Passo 13

Determinar a variável de saída:
  • Equação 3: 21 / 10 = 2.1
  • Equação 4: 1.75 / 1 = 1.75
A menor razão é 1.75, então a Equação 4 é a variável de saída.

Passo 14

Pivotamos na célula onde x3 entra e na Equação 4 sai:
O tableau final fica:
|c|cccccc|c| hline & x1 & x2 & x3 & s1 & s2 & s3 & s4 & Solução hline Equação 1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 3 Equação 2 & 0 & 1 & 0 & 34 & -14 & 0 & 0 & 5.25 Equação 3 & 0 & 0 & 1 & 0.3 & 0 & -0.1 & 0 & 2.1 Equação 4 & 0 & 0 & 0 & 0.25 & 0.25 & 0 & 1 & 1.75 hline Custo & 0 & 0 & 0 & 750 - (1000)(0.3) & 250 - (1000)(0) & 0 - (1000)(-0.1) & 0 & -1500 + (1000)(2.1) hline çãçãçãçãçã
Simplificando a linha de custo:
Custo = 0x1 + 0x2 + 0x3 + 675 + 250 + 100 + 0 = 1025
Mas como queremos minimizar, e o valor na solução indica que não podemos reduzir mais o custo, encontramos nossa solução ótima.

Resposta

A solução ótima é:
x1 = 3, x2 = 5.25, x3 = 2.1
O custo mínimo é:
1000x1 + 1000x2 + 1000x3 = 1000(3) + 1000(5.25) + 1000(2.1) = R$10.350

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