Seja o seguinte modelo PL
Resolva o modelo usando o Tableu Simplex e discuta a solução encontrada
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de Programação Linear juntos! A gente quer minimizar o custo total, que é dado por
. Para isso, temos algumas restrições que as variáveis
,
e
precisam respeitar. Vamos usar o método do Tableau Simplex para encontrar a melhor solução.
Passo 2
Primeiro, precisamos organizar nosso problema no formato padrão da Programação Linear. Isso envolve transformar todas as desigualdades em igualdades, adicionando variáveis de folga quando necessário.
Passo 3
Vamos listar as restrições que temos:
Passo 4
Como temos desigualdades do tipo “maior ou igual”, vamos transformar elas em igualdades adicionando variáveis de excesso. Para a desigualdade “menor ou igual”, adicionamos uma variável de folga.
-
(onde é a variável de excesso) -
(onde é a variável de excesso) -
(onde é a variável de excesso) -
(onde é a variável de folga)
Passo 5
Agora, vamos montar o Tableau Simplex inicial com essas equações. O objetivo é minimizar a função custo, então configuramos o tableau para esse propósito.
Passo 6
O próximo passo é identificar a variável de entrada e a variável de saída para realizar as operações do Simplex. Geralmente, escolhemos a coluna com o maior coeficiente positivo na linha de custo para a entrada. Nesse caso, todas as variáveis têm o mesmo coeficiente, então podemos escolher qualquer uma.
Vamos escolher
como a variável de entrada.
Passo 7
Para determinar a variável de saída, dividimos os valores da coluna de solução pelos coeficientes positivos da coluna de entrada (
). Olhamos para a menor razão positiva:
- Equação 1:
- Equação 2:
- Equação 3:
- Equação 4:
A menor razão é 3, então a Equação 1 é a variável de saída.
Passo 8
Agora, vamos pivotar na célula onde a variável de entrada
e a variável de saída se cruzam (linha 1, coluna
). Isso significa que
vai entrar na base e
vai sair.
Após o pivô, atualizamos o tableau:
Passo 9
Analisamos novamente a linha de custo. Se todos os coeficientes forem menores ou iguais a zero, encontramos a solução ótima. Observe que ainda temos coeficientes positivos (
), então precisamos continuar.
Escolhemos
como a próxima variável de entrada.
Passo 10
Determinar a variável de saída:
- Equação 2:
- Equação 4:
A menor razão é 5.25, então a Equação 2 é a variável de saída.
Passo 11
Pivotamos na célula onde
entra e na Equação 2 sai:
Após o pivô, o novo tableau fica:
Passo 12
Novamente, verificamos a linha de custo. Ainda há coeficientes positivos (
), então continuamos.
Escolhemos
como a próxima variável de entrada.
Passo 13
Determinar a variável de saída:
- Equação 3:
- Equação 4:
A menor razão é 1.75, então a Equação 4 é a variável de saída.
Passo 14
Pivotamos na célula onde
entra e na Equação 4 sai:
O tableau final fica:
Simplificando a linha de custo:
Mas como queremos minimizar, e o valor na solução indica que não podemos reduzir mais o custo, encontramos nossa solução ótima.
Resposta
A solução ótima é:
O custo mínimo é: