Uma mola com constante elástica , está ligada a uma massa e se move em um meio com constante de amortecimento . A massa é liberada do repouso na posição de +5 cm a partir do equilíbrio. Onde ela estará após um tempo de ?
Passo 1
Então, vamos lá! A questão fala sobre uma mola com constante elástica ligada a uma massa de . Essa massa está se movendo em um meio com uma constante de amortecimento . A massa é solta do repouso na posição de +5 cm em relação ao equilíbrio. Queremos descobrir onde essa massa estará após .
Para resolver isso, vamos trabalhar com o conceito de movimento harmônico amortecido, que envolve entender como a massa oscila e como o amortecimento influencia esse movimento. Precisaremos usar equações que descrevem esse tipo de movimento e aplicar as condições iniciais fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o movimento harmônico amortecido. Esse tipo de movimento ocorre quando uma massa oscila em uma mola e, ao mesmo tempo, sofre uma força de amortecimento (como atrito ou resistência do ar) que diminui a amplitude das oscilações ao longo do tempo. A equação que descreve esse movimento é:
Onde:
é a massa,
é a constante de amortecimento,
é a constante elástica da mola,
é a posição da massa em função do tempo.
Passo 3
Vamos calcular algumas grandezas importantes:
Frequência natural ():
Taxa de amortecimento ():
Com esses valores, podemos verificar o tipo de amortecimento. Se , é superamortecido; se , é criticamente amortecido; e se , é subamortecido. Aqui, , então estamos no caso de amortecimento crítico.
Passo 4
No amortecimento crítico, a solução para a posição em função do tempo é dada por:
Onde e são constantes que determinamos usando as condições iniciais do problema.
Passo 5
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e :
Condição inicial de posição ():
Condição inicial de velocidade (, ):
Primeiro, derivamos para encontrar :
Aplicando :
Substituindo :
Passo 6
Agora que temos e , substituímos esses valores na equação de :
Passo 7
Vamos calcular a posição após :
Usando uma calculadora para :
Então:
Resposta
Após , a massa estará aproximadamente a da posição de equilíbrio.