Uma mola de constante elástica é presa a uma partícula de massa 2 kg . Tal sistema encontrase num meio onde há a ação de uma força dissipativa proporcional à velocidade da partícula , com constante de proporcionalidade (ou seja, ). Assuma que não existe força externa agindo sobre a partícula. Suponha que no instante soltamos a massa da sua posição de equilíbrio com velocidade de para cima.
a) Descreva a posição da partícula em função do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma mola com constante elástica de presa a uma partícula de massa . Além disso, há uma força que resiste ao movimento da partícula, chamada força dissipativa, que depende da velocidade. Queremos encontrar a posição da partícula em função do tempo quando soltamos a massa com uma velocidade inicial de .
Aqui vamos precisar usar conceitos de Movimento Harmônico Damping (Oscilador Harmônico Amortecido), que envolve forças elásticas, forças de dissipação (como atrito), e a segunda lei de Newton para montar uma equação diferencial que descreve o movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a força total agindo na partícula é a soma da força da mola e da força dissipativa. Pela segunda lei de Newton, , onde é a aceleração.
A força da mola é dada por:
onde e é a posição.
A força dissipativa é:
onde é a velocidade.
Então, a equação de movimento fica:
Já que e , podemos reescrever a equação como:
Passo 3
Substituindo os valores dados:
A equação fica:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Passo 4
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral para esse tipo de equação é da forma:
Onde é uma constante que vamos determinar resolvendo a equação característica.
Substituindo na equação diferencial:
Dividindo por (que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Passo 5
Para encontrar , resolvemos a equação quadrática:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
onde , , e .
Calculando o discriminante:
Então:
Passo 6
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes que determinamos pelas condições iniciais.