Uma mola de constante elástica 20 N/m é presa a uma partícula de massa 2 kg . Tal sistema encontrase num meio onde há a ação de uma força dissipativa Fd proporcional à velocidade da partícula v, com constante de proporcionalidade -44 N . s / m (ou seja, Fd = -44 v ). Assuma que não existe força externa agindo sobre a partícula. Suponha que no instante t = 0 soltamos a massa da sua posição de equilíbrio com velocidade de 12 m/s para cima.
a) Descreva a posição da partícula em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma mola com constante elástica de presa a uma partícula de massa . Além disso, há uma força que resiste ao movimento da partícula, chamada força dissipativa, que depende da velocidade. Queremos encontrar a posição da partícula em função do tempo quando soltamos a massa com uma velocidade inicial de .
Aqui vamos precisar usar conceitos de Movimento Harmônico Damping (Oscilador Harmônico Amortecido), que envolve forças elásticas, forças de dissipação (como atrito), e a segunda lei de Newton para montar uma equação diferencial que descreve o movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força total agindo na partícula é a soma da força da mola e da força dissipativa. Pela segunda lei de Newton, , onde é a aceleração.
A força da mola é dada por:
onde e é a posição.
A força dissipativa é:
onde é a velocidade.
Então, a equação de movimento fica:
Já que e , podemos reescrever a equação como:

Passo 3

Substituindo os valores dados:
A equação fica:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:

Passo 4

Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral para esse tipo de equação é da forma:
Onde é uma constante que vamos determinar resolvendo a equação característica.
Substituindo na equação diferencial:
Dividindo por (que nunca é zero), obtemos a equação característica:

Passo 5

Para encontrar , resolvemos a equação quadrática:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
onde , , e .
Calculando o discriminante:
Então:

Passo 6

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes que determinamos pelas condições iniciais.

Passo 7

Vamos aplicar as condições iniciais:
  1. No tempo , a posição (posição de equilíbrio).
  2. A velocidade inicial .
Primeiro, aplicamos a condição :
Então, .

Passo 8

Agora, vamos encontrar a derivada de :
Aplicando a condição :
Como , podemos substituir na equação:
Portanto, .

Passo 9

Substituindo e na solução geral:
Podemos fatorar :

Resposta

A posição da partícula em função do tempo é:

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