(valor: 0,80 ) Encontre a solução do sistema de EDO:
-2y1 + y2 = y1' y1 - 2y2 = y2'

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) que parece assim:
Nosso objetivo é encontrar as funções e que satisfazem essas equações. Para isso, vamos precisar usar métodos de resolução de sistemas lineares de EDOs, transformando essas equações para uma forma que possamos resolver mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações para deixar as derivadas e isoladas:
Assim, temos um sistema linear na forma:

Passo 3

Agora, vamos representar esse sistema em forma de matriz. Chamamos a matriz de coeficientes de e o vetor de variáveis de :
Então, nosso sistema fica:

Passo 4

Para resolver sistemas desse tipo, encontramos os valores próprios (autovalores) da matriz . Vamos calcular o determinante de :
Resolvendo a equação característica , encontramos os autovalores.

Passo 5

Resolvendo :
Então, os autovalores são:

Passo 6

Com os autovalores em mãos, agora encontramos os vetores próprios (autovetores) correspondentes a cada .
Para :
Isso nos dá a relação . Podemos escolher .
Para :
Aqui, também temos . Podemos escolher .

Passo 7

Com os autovalores e autovetores, a solução geral do sistema é uma combinação linear das soluções associadas a cada autovalor:
Substituindo os valores encontrados:

Resposta

A solução do sistema é dada por:
Onde e são constantes que dependem das condições iniciais.

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