(valor: 0,80 ) Encontre a solução do sistema de EDO:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) que parece assim:
Nosso objetivo é encontrar as funções
e
que satisfazem essas equações. Para isso, vamos precisar usar métodos de resolução de sistemas lineares de EDOs, transformando essas equações para uma forma que possamos resolver mais facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações para deixar as derivadas
e
isoladas:
Assim, temos um sistema linear na forma:
Passo 3
Agora, vamos representar esse sistema em forma de matriz. Chamamos a matriz de coeficientes de
e o vetor de variáveis de
:
Então, nosso sistema fica:
Passo 4
Para resolver sistemas desse tipo, encontramos os valores próprios (autovalores) da matriz
. Vamos calcular o determinante de
:
Resolvendo a equação característica
, encontramos os autovalores.
Passo 5
Resolvendo
:
Então, os autovalores são:
Passo 6
Com os autovalores em mãos, agora encontramos os vetores próprios (autovetores) correspondentes a cada
.
Para
:
Isso nos dá a relação
. Podemos escolher
.
Para
:
Aqui, também temos
. Podemos escolher
.
Passo 7
Com os autovalores e autovetores, a solução geral do sistema é uma combinação linear das soluções associadas a cada autovalor:
Substituindo os valores encontrados:
Resposta
A solução do sistema é dada por:
Onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais.