(valor: 1,20) Dê os seis primeiros termos da série que é solução da EDO
(4-x) y' + y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os seis primeiros termos da série que é solução da Equação Diferencial Ordinária (EDO):
Vamos usar conceitos de Séries de Potências e Resolução de EDOs para chegar na solução. Precisaremos desenvolver em série de potências e substituir na equação para encontrar os coeficientes.

Passo 2

Primeiro, assumimos que pode ser escrito como uma série de potências em torno de :

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de em relação a :

Passo 4

Substituímos e na EDO:
Fazendo as substituições:

Passo 5

Expandindo o produto :
Isso resulta em:

Passo 6

Agora, somamos esta expressão com :
Agrupando os termos semelhantes:
Simplificando:

Passo 7

Para que a igualdade seja válida para todo , cada coeficiente deve ser igual a zero:

Passo 8

Resolvendo as equações obtidas:

Resposta

Os seis primeiros termos da série solução são:
Ou simplificando:

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