(valor: 1,20) Dê os seis primeiros termos da série que é solução da EDO
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os seis primeiros termos da série que é solução da Equação Diferencial Ordinária (EDO):
Vamos usar conceitos de Séries de Potências e Resolução de EDOs para chegar na solução. Precisaremos desenvolver
em série de potências e substituir na equação para encontrar os coeficientes.
Passo 2
Primeiro, assumimos que
pode ser escrito como uma série de potências em torno de
:
Passo 3
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Substituímos
e
na EDO:
Fazendo as substituições:
Passo 5
Expandindo o produto
:
Isso resulta em:
Passo 6
Agora, somamos esta expressão com
:
Agrupando os termos semelhantes:
Simplificando:
Passo 7
Para que a igualdade seja válida para todo
, cada coeficiente deve ser igual a zero:
Passo 8
Resolvendo as equações obtidas:
Resposta
Os seis primeiros termos da série solução são:
Ou simplificando: