Calcule as integrais impróprias a seguir.
integral0^infty x arctg x(1+x^2)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral imprópria juntos! O enunciado pede para calcular:
integral0^infty x arctan x(1+x^2)^2 , dx
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais, mais especificamente integrais impróprias porque o limite superior é infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
u = arctan x e dv = x(1+x^2)^2 , dx

Passo 3

Agora, vamos derivar du = 11+x^2 , dx e integrar v = integral x(1+x^2)^2 , dx para encontrar v = integral 12t^2 , dt = -12t + C = -12(1+x^2) e :
Para encontrar , precisamos integrar :
Fazendo uma substituição , então ou :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral0^infty x arctan x(1+x^2)^2 , dx = u v |0^infty - integral0^infty v , du
Substituindo = arctan x (-12(1+x^2)) |0^infty - integral0^infty (-12(1+x^2)) cdot 11+x^2 , dx , e :

Passo 5

Vamos analisar o primeiro termo :
  • Quando , e , então o produto vai para 0.
  • Quando , , então também dá 0.
Portanto, o primeiro termo é 0.

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral restante:
- integral0^infty (-12(1+x^2)) cdot 11+x^2 , dx = 12 integral0^infty 1(1+x^2)^2 , dx
Essa é uma integral padrão que sabemos resolver. A integral de integral 1(1+x^2)^2 , dx = x2(1+x^2) + 12 arctan x + C é:

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
12 [ x2(1+x^2) + 12 arctan x |0^infty ]
  • Para 12 ( 0 + 12 cdot pi2 - 0 ) = 12 cdot pi4 = pi8 :
  • Para :
Portanto:

Resposta

O valor da integral é .

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