Uma mola de constante elástica l1 conecta um bloco de massa m1 a uma parede. Uma segunda mola, de constante elástica l2, conecta o bloco 1 a um bloco de massa m2. As massas das molas são desprezíveis e despreze qualquer forma de atrito. As molas tem o mesmo comprimento x0 quando o sistema está em equilíbrio.
  • Considere agora que o bloco 1 mantém o bloco 1 fixo enquanto desloca o bloco 2 por De para direita. Neste instante, a mola de constante l1 se rompe e o sistema é liberado. Encontre as equações de movimento para os blocos 1 e 2. Deduza a frequência de oscilação. Para simplificar, considere que m1 = m2 = m e l2 = l.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está nos pedindo. Temos dois blocos com massas iguais, , conectados por duas molas com constantes elásticas e . Inicialmente, as molas estão em equilíbrio com comprimento . O bloco 1 é mantido fixo enquanto deslocamos o bloco 2 para a direita por uma distância . Nesse momento, a mola se rompe e o sistema é liberado. Precisamos encontrar as equações de movimento para os dois blocos e determinar a frequência das oscilações resultantes.
O conteúdo principal aqui envolve mecânica vibratória, especificamente movimentos harmônicos simples e sistemas de massas e molas. Para resolver, vamos usar a segunda lei de Newton e as propriedades das forças restauradoras das molas.

Passo 2

Após a mola se romper, vamos analisar o que acontece com cada bloco:
  • Bloco 1: Agora está apenas conectado à mola e não há mais força da mola atuando sobre ele.
  • Bloco 2: Está conectado à mola e foi deslocado por .
Vamos desenhar um diagrama de forças para cada bloco para identificar as forças atuantes.

Passo 3

Para o Bloco 1:
Após a ruptura da mola F1 = -k x1 , a única força atuando é a força da mola F2 = -k (x2 - x1) . Supondo que a mola exerce uma força proporcional ao deslocamento do bloco 1:
onde é a constante elástica da mola .
Para o Bloco 2:
A mola também exerce uma força sobre o bloco 2, proporcional ao deslocamento relativo entre os blocos 1 e 2:
onde é o deslocamento do bloco 2.

Passo 4

Aplicando a segunda lei de Newton para cada bloco:
Bloco 1:
m d^2 x1dt^2 = F1 = -k x1
Bloco 2:
m d^2 x2dt^2 = F2 = -k (x2 - x1)
Agora, temos um sistema de equações diferenciais que descreve o movimento dos dois blocos.

Passo 5

Para simplificar, vamos reescrever as equações:
  1. Para o Bloco 1:
d^2 x1dt^2 + km x1 = 0
  1. Para o Bloco 2:
d^2 x2dt^2 + km (x2 - x1) = 0
Este é um sistema de equações diferenciais acopladas que pode ser resolvido para encontrar as soluções de e .

Passo 6

Para encontrar a frequência das oscilações, vamos procurar soluções harmônicas na forma de funções senoidais:
x1(t) = A cos(omega t)
x2(t) = B cos(omega t)
Substituindo essas soluções nas equações do Passo 5:
  1. Para o Bloco 1:
-omega^2 A cos(omega t) + km A cos(omega t) = 0
  1. Para o Bloco 2:
-omega^2 B cos(omega t) + km (B - A) cos(omega t) = 0

Passo 7

Simplificando as equações:
  1. Para o Bloco 1:
(-omega^2 + km) A = 0
  1. Para o Bloco 2:
(-omega^2 + km) B + km (-A) = 0
Para que haja soluções não triviais (ou seja, e diferentes de zero), o determinante do sistema homogêneo deve ser zero.

Passo 8

Montamos a matriz dos coeficientes:
-omega^2 + km & 0 -km & -omega^2 + km
O determinante dessa matriz deve ser zero:
(-omega^2 + km)(-omega^2 + km) - (0)(-km) = 0
Simplificando:
(-omega^2 + km)^2 = 0

Passo 9

Resolvendo para -omega^2 + km = 0 implies omega^2 = km implies omega = raizkm :

Resposta

A frequência de oscilação do sistema é dada por
f = omega2pi = 12pi raizkm

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