Uma mola de constante elástica
conecta um bloco de massa
a uma parede. Uma segunda mola, de constante elástica
, conecta o bloco 1 a um bloco de massa
. As massas das molas são desprezíveis e despreze qualquer forma de atrito. As molas tem o mesmo comprimento
quando o sistema está em equilíbrio.
- Considere agora que o bloco 1 mantém o bloco 1 fixo enquanto desloca o bloco 2 por
para direita. Neste instante, a mola de constante
se rompe e o sistema é liberado. Encontre as equações de movimento para os blocos 1 e 2. Deduza a frequência de oscilação. Para simplificar, considere que
e
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está nos pedindo. Temos dois blocos com massas iguais,
, conectados por duas molas com constantes elásticas
e
. Inicialmente, as molas estão em equilíbrio com comprimento
. O bloco 1 é mantido fixo enquanto deslocamos o bloco 2 para a direita por uma distância
. Nesse momento, a mola
se rompe e o sistema é liberado. Precisamos encontrar as equações de movimento para os dois blocos e determinar a frequência das oscilações resultantes.
O conteúdo principal aqui envolve mecânica vibratória, especificamente movimentos harmônicos simples e sistemas de massas e molas. Para resolver, vamos usar a segunda lei de Newton e as propriedades das forças restauradoras das molas.
Passo 2
Após a mola
se romper, vamos analisar o que acontece com cada bloco:
- Bloco 1: Agora está apenas conectado à mola
e não há mais força da mola atuando sobre ele. - Bloco 2: Está conectado à mola
e foi deslocado por .
Vamos desenhar um diagrama de forças para cada bloco para identificar as forças atuantes.
Passo 3
Para o Bloco 1:
Após a ruptura da mola
, a única força atuando é a força da mola
. Supondo que a mola exerce uma força proporcional ao deslocamento
do bloco 1:
onde
é a constante elástica da mola
.
Para o Bloco 2:
A mola
também exerce uma força sobre o bloco 2, proporcional ao deslocamento relativo entre os blocos 1 e 2:
onde
é o deslocamento do bloco 2.
Passo 4
Aplicando a segunda lei de Newton para cada bloco:
Bloco 1:
Bloco 2:
Agora, temos um sistema de equações diferenciais que descreve o movimento dos dois blocos.
Passo 5
Para simplificar, vamos reescrever as equações:
- Para o Bloco 1:
- Para o Bloco 2:
Este é um sistema de equações diferenciais acopladas que pode ser resolvido para encontrar as soluções de
e
.
Passo 6
Para encontrar a frequência das oscilações, vamos procurar soluções harmônicas na forma de funções senoidais:
Substituindo essas soluções nas equações do Passo 5:
- Para o Bloco 1:
- Para o Bloco 2:
Passo 7
Simplificando as equações:
- Para o Bloco 1:
- Para o Bloco 2:
Para que haja soluções não triviais (ou seja,
e
diferentes de zero), o determinante do sistema homogêneo deve ser zero.
Passo 8
Montamos a matriz dos coeficientes:
O determinante dessa matriz deve ser zero:
Simplificando:
Passo 9
Resolvendo para
:
Resposta
A frequência de oscilação do sistema é dada por