Uma mola de constante elástica l1 conecta um bloco de massa m1 a uma parede. Uma segunda mola, de constante elástica l2, conecta o bloco 1 a um bloco de massa m2. As massas das molas são desprezíveis e despreze qualquer forma de atrito. As molas tem o mesmo comprimento x0 quando o sistema está em equilíbrio.
Encontre as equações de movimento dos blocos 1 e 2. Considerando que as duas molas podem ser consideradas como uma única mola de constante elástica keq, encontre keq.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um sistema com duas massas e duas molas ligando elas e uma parede. A gente precisa encontrar as equações de movimento para os blocos 1 e 2. Além disso, vamos tratar as duas molas como se fossem uma só, com uma constante elástica equivalente $ k_{eq} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de leis de Newton e sistemas de molas em série.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças agindo em cada bloco. No bloco 1, temos duas molas: uma puxando para a parede e outra puxando para o bloco 2. No bloco 2, só tem a mola puxando para o bloco 1.

Passo 3

Vamos chamar o deslocamento do bloco 1 em relação ao equilíbrio de $ x_1(t) $ e o deslocamento do bloco 2 de $ x_2(t) $. A força da mola é dada pela lei de Hooke: $ F = -k \cdot x $, onde $ k $ é a constante elástica e $ x $ é o deslocamento.

Passo 4

Para o bloco 1, as forças são:
  • A mola $ l_1 $: $ -l_1 \cdot x_1 $ (puxa para a parede)
  • A mola $ l_2 $: $ l_2 \cdot (x_2 - x_1) $ (puxa para o bloco 2)
Aplicando a segunda lei de Newton ($ F = m \cdot a $):
l1

Passo 5

Simplificando a equação do bloco 1:
m1 cdot ddotx1 = - (l1 + l2) cdot x1 + l2 cdot x2

Passo 6

Para o bloco 2, só tem a força da mola $ l_2 $:
l2
Simplificando:
m2 cdot ddotx2 = -l2 cdot (x2 - x1)

Passo 7

Agora, temos as equações de movimento para ambos os blocos:
m1 ddotx1 = - (l1 + l2) x1 + l2 x2
m2 ddotx2 = l2 x1 - l2 x2

Passo 8

Para encontrar a constante elástica equivalente $ k_{eq} $, consideramos as duas molas em série. A fórmula para molas em série é:
keq
Resolvendo para $ k_{eq} $:
1keq = 1l1 + 1l2

Resposta

As equações de movimento são:
m1 ddotx1 = - (l1 + l2) x1 + l2 x2 m2 ddotx2 = l2 x1 - l2 x2
E a constante elástica equivalente é:
keq = l1 cdot l2l1 + l2

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