Uma mola de constante elástica l1 conecta um bloco de massa m1 a uma parede. Uma segunda mola, de constante elástica l2, conecta o bloco 1 a um bloco de massa m2. As massas das molas são desprezíveis e despreze qualquer forma de atrito. As molas tem o mesmo comprimento x0 quando o sistema está em equilíbrio. - Considere agora que a constante elástica l2 seja muito grande, de modo que o bloco 2 não oscila independentemente do bloco 1. Qual a equação de movimento do sistema (bloco 1 + bloco 2)? Deduza sua frequência de oscilação.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! A gente tem dois blocos ligados por duas molas: uma que conecta o bloco 1 à parede com constante elástica e outra que conecta o bloco 1 ao bloco 2 com constante elástica . As massas das molas e o atrito estão desprezados, e quando o sistema está em equilíbrio, as molas têm o mesmo comprimento .
A parada é que agora a constante elástica é muito grande, o que significa que a mola entre os blocos 1 e 2 é super rígida. Isso faz com que o bloco 2 não oscile independentemente do bloco 1. O que a gente precisa fazer é descobrir a equação de movimento desse sistema combinado (bloco 1 + bloco 2) e, a partir daí, deduzir a frequência de oscilação.
Vamos usar conceitos de dinâmica de sistemas massivos ligados por molas e aplicar a Lei de Hooke para modelar as forças envolvidas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam no bloco 1. Como a mola está conectada à parede, quando o bloco 1 se move, essa mola exerce uma força de restauração proporcional ao deslocamento. A mesma coisa acontece com a mola que conecta o bloco 1 ao bloco 2.
Como a constante elástica é muito grande, a mola vai praticamente manter uma distância fixa entre os blocos 1 e 2, ou seja, o deslocamento do bloco 2 será praticamente igual ao deslocamento do bloco 1. Por isso, podemos considerar que os blocos 1 e 2 se movem juntos como se fossem um único sistema com massa total .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Lei de Hooke, que diz que a força exercida por uma mola é proporcional ao seu deslocamento:
F = -k cdot x
Onde:
  • é a força de restauração,
  • é a constante elástica da mola,
  • é o deslocamento da mola em relação à posição de equilíbrio.
No nosso caso, a força total de restauração no sistema combinado é a força exercida pela mola , já que a mola está super rígida e não contribui para a força de restauração.

Passo 4

Vamos agora escrever a equação de movimento usando a segunda lei de Newton:
Ftotal = m cdot a
Onde:
  • - l1 cdot x = (m1 + m2) cdot d^2xdt^2 é a força total exercida no sistema,
  • é a massa total do sistema,
  • é a aceleração do sistema.
Substituindo a força da mola na equação:

Passo 5

Rearranjando a equação, temos a equação diferencial que descreve o movimento do sistema:
(m1 + m2) cdot d^2xdt^2 + l1 cdot x = 0
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem que caracteriza um movimento harmônico simples.

Passo 6

Para encontrar a frequência de oscilação, vamos comparar a equação com a forma padrão de uma equação de movimento harmônico:
d^2xdt^2 + omega^2 x = 0
Onde (m1 + m2) cdot d^2xdt^2 + l1 cdot x = 0 é a frequência angular.
Comparando com a nossa equação:
omega^2 = l1m1 + m2
Podemos identificar que:
omega = raizl1m1 + m2
Então:

Resposta

A frequência de oscilação do sistema é:
omega = raizl1m1 + m2

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