Uma mola de constante elástica
conecta um bloco de massa
a uma parede. Uma segunda mola, de constante elástica
, conecta o bloco 1 a um bloco de massa
. As massas das molas são desprezíveis e despreze qualquer forma de atrito. As molas tem o mesmo comprimento
quando o sistema está em equilíbrio. - Considere agora que a constante elástica l2 seja muito grande, de modo que o bloco 2 não oscila independentemente do bloco 1. Qual a equação de movimento do sistema (bloco 1 + bloco 2)? Deduza sua frequência de oscilação.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! A gente tem dois blocos ligados por duas molas: uma que conecta o bloco 1 à parede com constante elástica
e outra que conecta o bloco 1 ao bloco 2 com constante elástica
. As massas das molas e o atrito estão desprezados, e quando o sistema está em equilíbrio, as molas têm o mesmo comprimento
.
A parada é que agora a constante elástica
é muito grande, o que significa que a mola entre os blocos 1 e 2 é super rígida. Isso faz com que o bloco 2 não oscile independentemente do bloco 1. O que a gente precisa fazer é descobrir a equação de movimento desse sistema combinado (bloco 1 + bloco 2) e, a partir daí, deduzir a frequência de oscilação.
Vamos usar conceitos de dinâmica de sistemas massivos ligados por molas e aplicar a Lei de Hooke para modelar as forças envolvidas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam no bloco 1. Como a mola
está conectada à parede, quando o bloco 1 se move, essa mola exerce uma força de restauração proporcional ao deslocamento. A mesma coisa acontece com a mola
que conecta o bloco 1 ao bloco 2.
Como a constante elástica
é muito grande, a mola
vai praticamente manter uma distância fixa entre os blocos 1 e 2, ou seja, o deslocamento do bloco 2 será praticamente igual ao deslocamento do bloco 1. Por isso, podemos considerar que os blocos 1 e 2 se movem juntos como se fossem um único sistema com massa total
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Lei de Hooke, que diz que a força exercida por uma mola é proporcional ao seu deslocamento:
Onde:
-
é a força de restauração, -
é a constante elástica da mola, -
é o deslocamento da mola em relação à posição de equilíbrio.
No nosso caso, a força total de restauração no sistema combinado é a força exercida pela mola
, já que a mola
está super rígida e não contribui para a força de restauração.
Passo 4
Vamos agora escrever a equação de movimento usando a segunda lei de Newton:
Onde:
-
é a força total exercida no sistema, -
é a massa total do sistema, -
é a aceleração do sistema.
Substituindo a força da mola
na equação:
Passo 5
Rearranjando a equação, temos a equação diferencial que descreve o movimento do sistema:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem que caracteriza um movimento harmônico simples.
Passo 6
Para encontrar a frequência de oscilação, vamos comparar a equação com a forma padrão de uma equação de movimento harmônico:
Onde
é a frequência angular.
Comparando com a nossa equação:
Podemos identificar que:
Então:
Resposta
A frequência de oscilação do sistema é: