7- Represente graficamente as curvas do deslocamente x(t), da velocidade v(t) e da aceleração a(t) de um oscilador harmônico simples, considerando a constante de fase nula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenhar os gráficos das funções de deslocamento , velocidade e aceleração de um oscilador harmônico simples, considerando que a constante de fase é zero. Isso envolve entender como essas três grandezas se relacionam no movimento oscilatório.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o deslocamento x(t) = A cos(omega t) . No oscilador harmônico simples, o deslocamento varia de acordo com uma função cosseno, já que a constante de fase é zero. A fórmula é:
Aqui:
  • é a amplitude, que é o quanto o objeto vibra pra frente e pra trás.
  • é a frequência angular, relacionada à rapidez das oscilações.
  • é o tempo.

Passo 3

Agora, vamos para a velocidade v(t) = dxdt = -A omega sin(omega t) . A velocidade é a derivada do deslocamento em relação ao tempo. Então, derivando :
Isso significa que a velocidade também varia de maneira senoidal, mas está defasada em 90 graus (ou radianos) em relação ao deslocamento, e a amplitude é multiplicada por .

Passo 4

Depois, temos a aceleração a(t) = dvdt = -A omega^2 cos(omega t) . A aceleração é a derivada da velocidade ou a segunda derivada do deslocamento. Vamos derivar :
Perceba que a aceleração também é uma função cosseno, como o deslocamento, mas com a amplitude multiplicada por e invertida (sinal negativo).

Passo 5

Agora que temos as equações, vamos entender como elas se comportam graficamente:
  1. Deslocamento : É uma curva cossenoidal que começa no ponto máximo quando .
  2. Velocidade : É uma curva senoidal que cruza o eixo zero quando o deslocamento está no máximo ou mínimo, refletindo a mudança de direção.
  3. Aceleração : Também é uma curva cossenoidal, mas com amplitude maior e invertida em relação ao deslocamento. Ela atenua o movimento quando o objeto está se movendo para fora da posição de equilíbrio e o impulsiona de volta quando está se movendo para a posição de equilíbrio.

Resposta

As curvas do deslocamento , da velocidade e da aceleração de um oscilador harmônico simples com constante de fase nula são todas funções senoidais. O deslocamento e a aceleração são curvas cossenoidais com amplitudes diferentes e sentidos opostos, enquanto a velocidade é uma curva senoidal defasada em 90 graus em relação ao deslocamento. Esses gráficos demonstram como cada grandeza se comporta ao longo do tempo no movimento oscilatório.

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