Um teorema elementar em estatística determina que a incerteza da média quadrática em uma grandeza
é dada por
. Determine a incerteza na posição radial do elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio. Utilize o valor médio de
calculado antes,
. O valor médio da distância ao quadrado entre o elétron e o próton é dado por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre incerteza na posição radial do elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio. A gente vai usar um teorema de estatística que nos dá a incerteza da média quadrática, representada por
. Para resolver isso, vamos precisar saber o valor médio de
e o valor médio de
no estado fundamental do hidrogênio.
Passo 2
Primeiro, já temos o valor médio de
, que é
, onde
é o raio de Bohr. Agora, precisamos encontrar o valor médio de
, que é dado pela integral:
No estado fundamental do átomo de hidrogênio (estado 1s), sabemos que:
Passo 3
Agora que temos
e
, vamos aplicar a fórmula da incerteza:
Substituindo os valores que conhecemos:
Passo 4
Vamos calcular agora o que está dentro da raiz:
Então, temos:
Resposta
A incerteza na posição radial do elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio é: