O momento magnético de uma espira é dado pelo vetor: m=i+3 k, onde todas as unidades são do SI. Esta espira está imersa em um campo magnético uniforme, cujo vetor campo magnético é dado por: B=i+j+2 k, onde todas as unidades são do SI. Determine a expressão do torque resultante sobre a espira.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma espira com um momento magnético representado pelo vetor m = i + 3 k e está dentro de um campo magnético uniforme dado por B = i + j + 2 k. A nossa missão é descobrir qual é o torque que esse campo magnético exerce sobre a espira. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o torque usando o momento magnético e o campo magnético.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o torque tau em uma espira é dado pelo produto vetorial do momento magnético m pelo campo magnético B. A fórmula é:
tau = m times B
Esse produto vetorial nos dá um vetor que representa o torque resultante na espira.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial passo a passo. Sabemos que:
m = i + 3 k
B = i + j + 2 k
Então, temos que:
tau = (i + 3 k) times (i + j + 2 k)

Passo 4

Vamos expandir esse produto vetorial usando a distributiva:
tau = i times i + i times j + i times 2k + 3k times i + 3k times j + 3k times 2k
Agora, vamos calcular cada termo individualmente.

Passo 5

Lembrando que o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é zero, ou seja, i times i = 0 e k times k = 0. Então:
tau = 0 + i times j + 2(i times k) + 3(k times i) + 3(k times j) + 0

Passo 6

Agora, vamos lembrar dos produtos vetoriais básicos:
i times j = k
i times k = -j
k times i = j
k times j = -i
Substituindo esses valores na expressão:

Passo 7

tau = 0 + k + 2(-j) + 3(j) + 3(-i) + 0
Simplificando os termos:
tau = k - 2j + 3j - 3i

Passo 8

Agora, vamos combinar os termos parecidos:
-2j + 3j = j
Então, temos:
tau = k + j - 3i

Resposta

O torque resultante sobre a espira é dado por:
tau = -3,i + j + k

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