Uma partícula de carga
e massa
penetra em um campo magnético uniforme com velocidade
em uma direção ortogonal à direção de
. Determine a frequência ciclotrônica: (a) em função de
e do raio
da trajetória; (b) em função de carga
, da massa
e do módulo do vetor
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com carga
e massa
que entra numa região com um campo magnético uniforme
. A velocidade
da partícula é perpendicular ao campo magnético. Precisamos determinar a frequência ciclotrônica, que é a frequência com que a partícula gira ao se mover no campo magnético. Vamos resolver isso em duas partes: (a) em função da velocidade
e do raio
da trajetória; (b) em função da carga
, da massa
e do módulo de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando uma partícula carregada se move perpendicularmente a um campo magnético, ela sofre uma força magnética que a faz se mover em trajetória circular. Essa força magnética é dada por:
onde
é a velocidade da partícula e
é a intensidade do campo magnético.
Passo 3
A força centrípeta necessária para manter a partícula em movimento circular também pode ser expressa como:
onde
é a massa da partícula e
é o raio da trajetória.
Passo 4
Como a força magnética é responsável pela força centrípeta, podemos igualar as duas expressões:
Vamos resolver essa equação para encontrar uma relação entre
,
, e
.
Passo 5
Simplificando a equação:
Isso nos permite expressar a velocidade
em termos de
:
Passo 6
A frequência ciclotrônica
é o número de voltas que a partícula completa por unidade de tempo. Ela está relacionada com o período
(tempo para uma volta) pela relação:
O período
pode ser obtido pela circunferência da trajetória dividida pela velocidade:
Passo 7
Substituindo
da Passo 5 na expressão de
:
Portanto, a frequência ciclotrônica é:
Resposta
(a) A frequência ciclotrônica em função da velocidade
e do raio
é:
(b) A frequência ciclotrônica em função da carga
, da massa
e do campo magnético
é: