Uma partícula de carga q e massa m penetra em um campo magnético uniforme com velocidade u em uma direção ortogonal à direção de B. Determine a frequência ciclotrônica: (a) em função de u e do raio R da trajetória; (b) em função de carga q, da massa m e do módulo do vetor B.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com carga e massa que entra numa região com um campo magnético uniforme . A velocidade da partícula é perpendicular ao campo magnético. Precisamos determinar a frequência ciclotrônica, que é a frequência com que a partícula gira ao se mover no campo magnético. Vamos resolver isso em duas partes: (a) em função da velocidade e do raio da trajetória; (b) em função da carga , da massa e do módulo de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando uma partícula carregada se move perpendicularmente a um campo magnético, ela sofre uma força magnética que a faz se mover em trajetória circular. Essa força magnética é dada por:
F = q u B
onde é a velocidade da partícula e é a intensidade do campo magnético.

Passo 3

A força centrípeta necessária para manter a partícula em movimento circular também pode ser expressa como:
Fcentrípeta = m u^2R í
onde é a massa da partícula e é o raio da trajetória.

Passo 4

Como a força magnética é responsável pela força centrípeta, podemos igualar as duas expressões:
q u B = m u^2R
Vamos resolver essa equação para encontrar uma relação entre , , e .

Passo 5

Simplificando a equação:
q B = m uR
Isso nos permite expressar a velocidade u = q B Rm em termos de :

Passo 6

A frequência ciclotrônica f = 1T é o número de voltas que a partícula completa por unidade de tempo. Ela está relacionada com o período T = 2pi Ru (tempo para uma volta) pela relação:
O período pode ser obtido pela circunferência da trajetória dividida pela velocidade:

Passo 7

Substituindo T = 2pi Rq B Rm = 2pi mq B da Passo 5 na expressão de f = 1T = q B2pi m :
Portanto, a frequência ciclotrônica é:

Resposta

(a) A frequência ciclotrônica em função da velocidade f = u2pi R e do raio f = q B2pi m é:
(b) A frequência ciclotrônica em função da carga , da massa e do campo magnético é:

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