Um painel luminoso tem lâmpadas amarelas, vermelhas e azuis. Ao ser ligado, todas as luzes acendem juntas. As lâmpadas amarelas acendem a cada 4 segundos, vermelhas a cada 3 e as azuis a cada 5.
A) Quanto tempo após o painel ser ligado as lâmpadas vão acender juntas novamente?
B) Qual é o menor tempo necessário para que as lâmpadas de no mínimo duas cores distintas acendam juntas novamente e de que cor serão essas lâmpadas?
A) Quanto tempo após o painel ser ligado as lâmpadas vão acender juntas novamente?
B) Qual é o menor tempo necessário para que as lâmpadas de no mínimo duas cores distintas acendam juntas novamente e de que cor serão essas lâmpadas?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre quando as lâmpadas vão acender juntas novamente. O problema envolve conhecimentos de múltiplos e mínimo múltiplo comum (MMC). Vamos precisar descobrir o tempo em que os intervalos das lâmpadas se alinham de novo, ou seja, encontrar o MMC dos tempos que cada lâmpada leva para acender.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os tempos de cada lâmpada:
- Lâmpada amarela: 4 segundos
- Lâmpada vermelha: 3 segundos
- Lâmpada azul: 5 segundos
Para descobrir quando todas vão acender juntas novamente, precisamos encontrar o MMC de 4, 3 e 5.
Passo 3
Vamos lembrar que o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) de dois ou mais números é o menor número que é múltiplo de todos eles. Para encontrar o MMC, podemos fatorar cada número em fatores primos:
- 4 = 2²
- 3 = 3¹
- 5 = 5¹
Passo 4
Agora, para calcular o MMC, pegamos cada fator primo elevado à maior potência que aparece nas fatorações:
- 2² (de 4)
- 3¹ (de 3)
- 5¹ (de 5)
Então,
Passo 5
Portanto, o MMC de 4, 3 e 5 é 60 segundos. Isso significa que todas as três lâmpadas vão acender juntas novamente após 60 segundos.
Passo 6
Agora, vamos para a parte B. Queremos saber o menor tempo para que pelo menos duas lâmpadas de cores diferentes acendam juntas novamente e quais cores serão essas.
Vamos analisar os pares de lâmpadas:
-
Amarela e Vermelha:
- Tiempos: 4 e 3 segundos
- MMC(4, 3) = 12 segundos
-
Amarela e Azul:
- Tiempos: 4 e 5 segundos
- MMC(4, 5) = 20 segundos
-
Vermelha e Azul:
- Tiempos: 3 e 5 segundos
- MMC(3, 5) = 15 segundos
Passo 7
O menor MMC entre esses pares é 12 segundos, que corresponde às lâmpadas amarela e vermelha. Assim, após 12 segundos, essas duas lâmpadas vão acender juntas novamente.
Resposta
A) As lâmpadas vão acender juntas novamente após 60 segundos.
B) O menor tempo para que lâmpadas de pelo menos duas cores distintas acendam juntas é 12 segundos, correspondendo às lâmpadas amarela e vermelha.