Calcule as seguintes integrais: integral cos ^3 4 x sen 4 x d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de cos^3(4x) cdot sin(4x) , dx. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que é útil quando temos uma função composta. Vamos precisar conhecer as regras de derivação e integração básica para seguir adiante.

Passo 2

Vamos usar a substituição. Vamos definir uma nova variável u igual a cos(4x). Então:
u = cos(4x)
Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx.

Passo 3

Calculando a derivada de u:
dudx = -4 sin(4x) Rightarrow du = -4 sin(4x) , dx Rightarrow -14 du = sin(4x) , dx
Isso nos permite substituir sin(4x) , dx na integral.

Passo 4

Substituindo u e du na integral original:
integral cos^3(4x) cdot sin(4x) , dx = integral u^3 cdot (-14 du) = -14 integral u^3 , du
Agora, a integral está em termos de u, que é mais fácil de resolver.

Passo 5

Integrando u^3 em relação a u:
integral u^3 , du = u^44 + C
Portanto,
-14 integral u^3 , du = -14 cdot u^44 + C = -u^416 + C

Passo 6

Agora, voltamos à variável original x substituindo u = cos(4x):
-u^416 + C = -(cos(4x))^416 + C

Resposta

A integral de cos^3(4x) cdot sin(4x) , dx é:
-cos^4(4x)16 + C
“C” representa a constante de integração.

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