Mostrar que cualquiera sean las constantes , la función no puede tener en el punto un mínimo relativo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que, independente dos valores de e , a função não pode ter um mínimo relativo no ponto . Para resolver isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e a análise da matriz Hessiana para verificar se o ponto é um ponto de mínimo.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a encontrar os pontos críticos, que são candidatos a mínimos, máximos ou pontos de sela.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :
Para :
Para :
Passo 4
Para que seja um ponto crítico, as derivadas parciais devem ser iguais a zero nesse ponto. Então, igualamos as expressões a zero:
Portanto, somente quando e , o ponto é crítico. Mas vamos verificar se esse ponto é realmente um mínimo.
Passo 5
Para determinar se o ponto crítico é um mínimo, a gente usa a matriz Hessiana, que é a matriz das segundas derivadas parciais:
Calculando as segundas derivadas:
Então, a matriz Hessiana fica:
Para que o ponto seja um mínimo relativo, a matriz Hessiana precisa ser definida positiva, o que requer que o determinante de seja positivo e que .
Calculando o determinante:
Com e :
Como o determinante é negativo (), a matriz Hessiana não é definida positiva, o que significa que o ponto não é um mínimo relativo. Na verdade, é um ponto de sela.
Resposta
Portanto, independente dos valores de e , a função não possui um mínimo relativo no ponto .