Mostrar que cualquiera sean las constantes a y b, la función f(x, y) = a * x^2 + b * y^2 + x * y - x + y no puede tener en el punto (1/5 ; 3/5) un mínimo relativo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que, independente dos valores de e , a função não pode ter um mínimo relativo no ponto . Para resolver isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e a análise da matriz Hessiana para verificar se o ponto é um ponto de mínimo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a encontrar os pontos críticos, que são candidatos a mínimos, máximos ou pontos de sela.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :
Para :
Para :

Passo 4

Para que seja um ponto crítico, as derivadas parciais devem ser iguais a zero nesse ponto. Então, igualamos as expressões a zero:
Portanto, somente quando e , o ponto é crítico. Mas vamos verificar se esse ponto é realmente um mínimo.

Passo 5

Para determinar se o ponto crítico é um mínimo, a gente usa a matriz Hessiana, que é a matriz das segundas derivadas parciais:
Calculando as segundas derivadas:
Então, a matriz Hessiana fica:
Para que o ponto seja um mínimo relativo, a matriz Hessiana precisa ser definida positiva, o que requer que o determinante de seja positivo e que .
Calculando o determinante:
Com e :
Como o determinante é negativo ( ), a matriz Hessiana não é definida positiva, o que significa que o ponto não é um mínimo relativo. Na verdade, é um ponto de sela.

Resposta

Portanto, independente dos valores de e , a função não possui um mínimo relativo no ponto .

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