Seja f(x) = x + 5 + ln(x^2 - 4). Esboce o gráfico de f(x) depois de (a) especificar o domínio da função

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa esboçar o gráfico dela. Isso envolve entender o domínio da função, que é o conjunto de todos os valores de que fazem a função existir. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre funções logarítmicas e onde elas são definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função . Sabemos que o logaritmo natural só existe quando . No nosso caso, o argumento do logaritmo é . Então, precisamos que:
Resolvendo essa inequação:
Isso significa que deve ser maior que 2 ou menor que -2. Portanto, o domínio da função é:

Passo 3

Agora que sabemos o domínio, vamos pensar em como esboçar o gráfico. Vamos analisar alguns pontos e comportamentos da função:
  1. Intercepto com o eixo : Para encontrar onde a função cruza o eixo , substituímos . Mas, olhando o domínio, não está no domínio da função, então não há intercepto com o eixo .
  2. Interceptos com o eixo : Para encontrar onde a função cruza o eixo , resolvemos :
Essa equação é um pouco complicada para resolver exatamente, então podemos concluir que os interceptos com o eixo existem, mas precisariam de métodos numéricos para serem determinados precisamente.
  1. Comportamento assintótico:
    • Quando se aproxima de 2 ou -2, o tende a , indicando que o gráfico vai para baixo nessas regiões.
    • Conforme vai para ou , o termo domina, então o comportamento da função é semelhante a uma reta de inclinação 1.
  2. Derivada da função: Para entender se a função está crescendo ou decrescendo, podemos derivar :
Analisando , vemos que a função está sempre crescendo fora do intervalo , já que a derivada é positiva nesse domínio.

Passo 4

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • O domínio é e .
  • Não há intercepto com o eixo .
  • Há interceptos com o eixo que seriam calculados numericamente.
  • Nos pontos próximos a e , o gráfico vai para .
  • Para valores muito grandes de ou muito pequenos, o gráfico se comporta como uma reta com inclinação 1.
Então, o gráfico terá duas “abas”, uma para e outra para , cada uma se aproximando das linhas assintóticas conforme vai para .

Resposta

O domínio da função é . Com base nisso, o gráfico de possui duas partes: uma para e outra para , ambas crescendo de forma semelhante a uma reta com inclinação 1 e se aproximando de perto de e .

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