Seja
. Esboce o gráfico de
depois de (a) especificar o domínio da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa esboçar o gráfico dela. Isso envolve entender o domínio da função, que é o conjunto de todos os valores de
que fazem a função existir. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre funções logarítmicas e onde elas são definidas.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função
. Sabemos que o logaritmo natural
só existe quando
. No nosso caso, o argumento do logaritmo é
. Então, precisamos que:
Resolvendo essa inequação:
Isso significa que
deve ser maior que 2 ou menor que -2. Portanto, o domínio da função é:
Passo 3
Agora que sabemos o domínio, vamos pensar em como esboçar o gráfico. Vamos analisar alguns pontos e comportamentos da função:
-
Intercepto com o eixo
: Para encontrar onde a função cruza o eixo , substituímos . Mas, olhando o domínio, não está no domínio da função, então não há intercepto com o eixo . -
Interceptos com o eixo
: Para encontrar onde a função cruza o eixo , resolvemos :
Essa equação é um pouco complicada para resolver exatamente, então podemos concluir que os interceptos com o eixo
existem, mas precisariam de métodos numéricos para serem determinados precisamente.
-
Comportamento assintótico:
- Quando
se aproxima de 2 ou -2, o tende a , indicando que o gráfico vai para baixo nessas regiões. - Conforme
vai para ou , o termo domina, então o comportamento da função é semelhante a uma reta de inclinação 1.
- Quando
-
Derivada da função: Para entender se a função está crescendo ou decrescendo, podemos derivar
:
Analisando
, vemos que a função está sempre crescendo fora do intervalo
, já que a derivada é positiva nesse domínio.
Passo 4
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- O domínio é
e . - Não há intercepto com o eixo
. - Há interceptos com o eixo
que seriam calculados numericamente. - Nos pontos próximos a
e , o gráfico vai para . - Para valores muito grandes de
ou muito pequenos, o gráfico se comporta como uma reta com inclinação 1.
Então, o gráfico terá duas “abas”, uma para
e outra para
, cada uma se aproximando das linhas assintóticas conforme
vai para
.
Resposta
O domínio da função
é
. Com base nisso, o gráfico de
possui duas partes: uma para
e outra para
, ambas crescendo de forma semelhante a uma reta com inclinação 1 e se aproximando de
perto de
e
.
Exercícios relacionados
Mostrar que cualquiera sean las constantes
, la función
no puede tener en el punto
un mínimo relativo.
Seja
uma função derivável tal que
. Calcule
e
Calcule la distancia más corta desde el punto
al plano
Calcule la distancia más corta desde el punto (1,0,-2) al plano