Se sabe que la función f(x, y) = 2*x^2 + x*y + a*x, donde a es un cierto real, presenta un punto estacionario (α, β) tal que alpha + beta = 6. Determinar a.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma função de duas variáveis, , onde é um número real que a gente precisa encontrar. Sabemos que essa função tem um ponto estacionário que satisfaz a condição . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e condições para pontos estacionários em funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um ponto estacionário. Em funções de várias variáveis, um ponto estacionário é onde todas as derivadas parciais em relação a cada variável são iguais a zero. Isso significa que vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e a , e depois igualá-las a zero.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Para encontrar o ponto estacionário, igualamos ambas as derivadas a zero:
Da equação (2), temos que .

Passo 5

Substituindo na equação (1):
Então, o ponto estacionário é .

Passo 6

Sabemos que , onde e . Então:

Resposta

O valor de é .

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