Mostrar que os pontos A(4,0,1), B(5,1,3), C(3,2,5) e D(2,1,3) são vértices de um paralelogramo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que os pontos $ A(4,0,1) $, $ B(5,1,3) $, $ C(3,2,5) $ e $ D(2,1,3) $ são vértices de um paralelogramo. O conteúdo que vamos usar aqui é de geometria analítica no espaço. Para resolver isso, vamos verificar se os lados opostos são iguais, ou seja, se os vetores $ \overrightarrow{AB} $ e $ \overrightarrow{DC} $ são iguais e se os vetores $ \overrightarrow{AD} $ e $ \overrightarrow{BC} $ também são iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o vetor $ \overrightarrow{AB} $. O vetor $ \overrightarrow{AB} $ é encontrado subtraindo as coordenadas de $ A $ das coordenadas de $ B $:
Passo 3
Agora, vamos calcular o vetor $ \overrightarrow{DC} $. Similarmente, subtraímos as coordenadas de $ D $ das coordenadas de $ C $:
Vimos que $ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} $, ou seja, os vetores são iguais.
Passo 4
Vamos fazer o mesmo para os outros dois lados. Primeiro, calculamos o vetor $ \overrightarrow{AD} $:
Passo 5
Em seguida, calculamos o vetor $ \overrightarrow{BC} $:
Perceba que $ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} $, então esses vetores também são iguais.
Passo 6
Como vimos, os vetores $ \overrightarrow{AB} $ e $ \overrightarrow{DC} $ são iguais, e os vetores $ \overrightarrow{AD} $ e $ \overrightarrow{BC} $ também são iguais. Isso mostra que os lados opostos são iguais e, portanto, os pontos formam um paralelogramo.
Resposta
Os pontos $ A(4,0,1) $, $ B(5,1,3) $, $ C(3,2,5) $ e $ D(2,1,3) $ são vértices de um paralelogramo porque os vetores dos lados opostos são iguais.