Os vetores canônicos i = ( 1 , 0 ) e j = ( 0 , 1 ) formam uma base para o espaço R2, ou seja, podemos obter qualquer vetor deste espaço a partir de combinações lineares de i e j . Se v = 8 i − 3 j , qual é a representação de ⃗ v na forma de suas componentes?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre vetores no espaço $ \mathbb{R}^2 $ e como a gente pode representar qualquer vetor nesse espaço usando os vetores canônicos $ \mathbf{i} = (1, 0) $ e $ \mathbf{j} = (0, 1) $. Então, a matéria aqui é de combinação linear de vetores. Para resolver, a gente vai precisar entender como decompor o vetor $ \mathbf{v} = 8\mathbf{i} - 3\mathbf{j} $ em suas componentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são combinações lineares. Uma combinação linear de $ \mathbf{i} $ e $ \mathbf{j} $ significa que a gente multiplica cada vetor canônico por um número (escalar) e depois soma os resultados. No caso, $ \mathbf{v} = 8\mathbf{i} - 3\mathbf{j} $ já está nessa forma.
Passo 3
Vamos substituir os valores de $ \mathbf{i} $ e $ \mathbf{j} $ na expressão do vetor $ \mathbf{v} $. Sabemos que:
Então:
Passo 4
Agora, vamos realizar as multiplicações:
Passo 5
Em seguida, somamos os vetores resultantes:
Resposta
A representação de $ \mathbf{v} $ na forma de suas componentes é $ \mathbf{v} = (8, -3) $.