Os vetores canônicos i = ( 1 , 0 ) e j = ( 0 , 1 ) formam uma base para o espaço R2, ou seja, podemos obter qualquer vetor deste espaço a partir de combinações lineares de i e j . Se v = 8 i − 3 j , qual é a representação de ⃗ v na forma de suas componentes?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre vetores no espaço $ \mathbb{R}^2 $ e como a gente pode representar qualquer vetor nesse espaço usando os vetores canônicos $ \mathbf{i} = (1, 0) $ e $ \mathbf{j} = (0, 1) $. Então, a matéria aqui é de combinação linear de vetores. Para resolver, a gente vai precisar entender como decompor o vetor $ \mathbf{v} = 8\mathbf{i} - 3\mathbf{j} $ em suas componentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são combinações lineares. Uma combinação linear de $ \mathbf{i} $ e $ \mathbf{j} $ significa que a gente multiplica cada vetor canônico por um número (escalar) e depois soma os resultados. No caso, $ \mathbf{v} = 8\mathbf{i} - 3\mathbf{j} $ já está nessa forma.

Passo 3

Vamos substituir os valores de $ \mathbf{i} $ e $ \mathbf{j} $ na expressão do vetor $ \mathbf{v} $. Sabemos que:
i
Então:
j

Passo 4

Agora, vamos realizar as multiplicações:
8(1, 0) = (8 times 1, 8 times 0) = (8, 0)
-3(0, 1) = (-3 times 0, -3 times 1) = (0, -3)

Passo 5

Em seguida, somamos os vetores resultantes:
(8, 0) + (0, -3) = (8 + 0, 0 + (-3)) = (8, -3)

Resposta

A representação de $ \mathbf{v} $ na forma de suas componentes é $ \mathbf{v} = (8, -3) $.

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