Um avião voa horizontalmente a uma altitude de 2 km, a 800 km/h, e passa diretamente sobre uma estação de radar. Encontre a taxa segundo a qual a distância entre o avião e a estação aumenta quando ele está a 3 km além da estação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um avião voando a uma altitude de 2 km e se deslocando horizontalmente a 800 km/h, passando diretamente sobre uma estação de radar. A gente precisa descobrir a que velocidade a distância entre o avião e a estação está aumentando quando o avião está a 3 km além da estação. Vamos usar conceitos de taxas relacionadas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as variáveis envolvidas. Vamos chamar de:
  • $ x $ a distância horizontal do avião em relação à estação de radar (em km).
  • $ y $ a distância direta entre o avião e a estação de radar (em km).
Como o avião está voando a uma altitude constante de 2 km, temos que a altura $ h = 2 $ km permanece fixa.

Passo 3

A relação entre $ x $ e $ y $ pode ser estabelecida usando o Teorema de Pitágoras, já que formam um triângulo retângulo:
x
Substituindo $ h = 2 $ km:
y

Passo 4

Queremos encontrar a taxa de variação de $ y $ em relação ao tempo, ou seja, $ \frac{dy}{dt} $. Para isso, vamos diferenciar a equação acima em relação ao tempo $ t $:
y
Simplificando:
dydt

Passo 5

Sabemos que:
  • $ \frac{dx}{dt} = 800 $ km/h (a velocidade horizontal do avião).
  • Quando o avião está a 3 km além da estação, $ x = 3 $ km.
Vamos calcular $ y $ nesse momento usando a equação de Pitágoras:
dxdt = 800

Passo 6

Agora, substituímos os valores na equação de $ \frac{dy}{dt} $:
dydt
Para obter um valor numérico mais simples, podemos calcular:
dydt = 3raiz13 cdot 800 = 2400raiz13 km/h

Resposta

A taxa na qual a distância entre o avião e a estação está aumentando quando o avião está a 3 km além da estação é aproximadamente 666,43 km/h.

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