Mostrar que, para qualquer n in N : 11^n+2+12^2 n+1 é divisível por 133 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que, para qualquer número natural , a expressão é divisível por 133. Isso envolve conceitos de divisibilidade e propriedades de potências. Vamos precisar usar um pouquinho de aritmética modular para facilitar as coisas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é dividibilidade por 133. Se um número é divisível por 133, isso significa que ele pode ser dividido por 133 sem deixar resto. Matematicamente, dizemos que .

Passo 3

Vamos fatorar 133 para simplificar o problema. Sabemos que 133 pode ser escrito como . Então, se mostramos que é divisível por 7 e por 19, então ele também será divisível por 133.

Passo 4

Começando com a divisibilidade por 7:
  • Calculamos 11^n+2 + 12^2n+1 equiv 4^n+2 + 5^2n+1 mod 7 : 4^n+2 + 5^2n+1 equiv 2 + 2 = 4 mod 7 com resto 4, então 4^n+2 equiv (4^2) cdot 4^n equiv 16 cdot 4^n equiv 2 cdot 4^n mod 7 .
  • Calculamos 5^2n+1 equiv 5 cdot (5^2)^n equiv 5 cdot 25^n equiv 5 cdot 4^n mod 7 : 2 cdot 4^n + 5 cdot 4^n = 7 cdot 4^n equiv 0 mod 7 com resto 5, então .
Agora, substituímos na expressão:
Observando os padrões das potências de 4 e 5 módulo 7, percebemos que sempre resultam em 2. Portanto:
Mas isso não é zero, então precisamos revisar. Vamos tentar calcular diretamente:
Na verdade, percebemos que:
E
Somando:
Agora sim, dá zero!

Passo 5

Agora, vamos verificar a divisibilidade por 19:
  • Calculamos 11^n+2 + 12^2n+1 mod 19 : 11^n+2 equiv 11^(n+2) mod 18 mod 19 .
  • Calculamos 12^2n+1 equiv 12^(2n+1) mod 18 mod 19 : 11^n+2 + 12^2n+1 equiv 0 mod 19 .
Substituindo na expressão:
Usando o pequeno teorema de Fermat, sabemos que para que não seja múltiplo de 19. Então, podemos simplificar as potências:
Calculando os resultados, percebemos que:

Resposta

Então, mostramos que é divisível por 7 e por 19, o que significa que ele também é divisível por 133. Portanto, para qualquer , é divisível por 133.

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Mostre que para todo n in N :
12 times 34 times 56 times cdots times 2 n-12 n <= 1raiz2 n+1
Prove por indução que:
a^n-b^n=(a-b) sumk=0^n a^k b^n-1-k