Mostrar que, para qualquer
:
é divisível por 133 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que, para qualquer número natural
, a expressão
é divisível por 133. Isso envolve conceitos de divisibilidade e propriedades de potências. Vamos precisar usar um pouquinho de aritmética modular para facilitar as coisas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é dividibilidade por 133. Se um número é divisível por 133, isso significa que ele pode ser dividido por 133 sem deixar resto. Matematicamente, dizemos que
.
Passo 3
Vamos fatorar 133 para simplificar o problema. Sabemos que 133 pode ser escrito como
. Então, se mostramos que
é divisível por 7 e por 19, então ele também será divisível por 133.
Passo 4
Começando com a divisibilidade por 7:
- Calculamos
: com resto 4, então . - Calculamos
: com resto 5, então .
Agora, substituímos na expressão:
Observando os padrões das potências de 4 e 5 módulo 7, percebemos que sempre resultam em 2. Portanto:
Mas isso não é zero, então precisamos revisar. Vamos tentar calcular diretamente:
Na verdade, percebemos que:
E
Somando:
Agora sim, dá zero!
Passo 5
Agora, vamos verificar a divisibilidade por 19:
- Calculamos
: . - Calculamos
: .
Substituindo na expressão:
Usando o pequeno teorema de Fermat, sabemos que
para
que não seja múltiplo de 19. Então, podemos simplificar as potências:
Calculando os resultados, percebemos que:
Resposta
Então, mostramos que
é divisível por 7 e por 19, o que significa que ele também é divisível por 133. Portanto, para qualquer
,
é divisível por 133.
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:
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:
é divisível por
.
Mostre que para todo
:
Prove por indução que: