Prove por indução que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar, usando indução matemática, que para qualquer inteiro positivo
, a expressão
é igual a
multiplicado pela soma
. Para resolver isso, vamos usar o método de indução matemática, que basicamente verifica se a afirmação é verdadeira para um caso base e, então, assume que ela é verdadeira para um caso
e prova que também é verdadeira para
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para
. Substituindo na expressão:
Mas percebemos que
não faz sentido aqui, então aparentemente houve um erro na formulação. Na verdade, a soma correta deve ir até
para evitar potências negativas. Vamos ajustar a expressão:
Agora, para
:
Portanto, a afirmação é verdadeira para
.
Passo 3
Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum inteiro
. Ou seja, vamos supor que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução e vamos usá-la para provar que a afirmação também vale para
.
Passo 4
Vamos provar que a afirmação é verdadeira para
:
Podemos reescrever isso como:
Agora, usando a hipótese de indução
, substituímos na expressão:
Agora, vamos reorganizar a soma:
Portanto, mostramos que se a afirmação é verdadeira para
, então também é verdadeira para
.
Resposta
Assim, por indução matemática, provamos que para todo inteiro positivo
:
Exercícios relacionados
Mostre que para todo
:
Mostrar que, para qualquer
:
é divisível por 133 .
Seja
o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas para
e
; por (Soma +)
e (produto escalar)
Mostre que valem os Axiomas 5,6,e 7 .
Mostre que valem os Axiomas 5,6,e 7 .
Seja
o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas para
e
; por (Soma + )
e (produto escalar)
(
)
Encontre dois axiomas de espaço vetorial que não sejam válidos.
Encontre dois axiomas de espaço vetorial que não sejam válidos.