Prove por indução que:
a^n-b^n=(a-b) sumk=0^n a^k b^n-1-k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar, usando indução matemática, que para qualquer inteiro positivo , a expressão é igual a multiplicado pela soma . Para resolver isso, vamos usar o método de indução matemática, que basicamente verifica se a afirmação é verdadeira para um caso base e, então, assume que ela é verdadeira para um caso e prova que também é verdadeira para .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para a^1 - b^1 = a - b . Substituindo na expressão:
(a - b) sumk=0^1 a^k b^1-1-k = (a - b)(a^0b^0 + a^1b^-1)
a^n - b^n = (a - b) sumk=0^n-1 a^k b^n-1-k
Mas percebemos que a^1 - b^1 = a - b não faz sentido aqui, então aparentemente houve um erro na formulação. Na verdade, a soma correta deve ir até (a - b) sumk=0^0 a^k b^0-k = (a - b)(a^0b^0) = (a - b)(1) = a - b para evitar potências negativas. Vamos ajustar a expressão:
Agora, para :
Portanto, a afirmação é verdadeira para .

Passo 3

Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum inteiro a^m - b^m = (a - b) sumk=0^m-1 a^k b^m-1-k . Ou seja, vamos supor que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução e vamos usá-la para provar que a afirmação também vale para .

Passo 4

Vamos provar que a afirmação é verdadeira para a^m+1 - b^m+1 = a cdot a^m - b cdot b^m :
= a cdot a^m - a cdot b^m + a cdot b^m - b cdot b^m
Podemos reescrever isso como:
= a(a^m - b^m) + b^m(a - b)
= a cdot (a - b) sumk=0^m-1 a^k b^m-1-k + b^m(a - b)
Agora, usando a hipótese de indução = (a - b) ( a sumk=0^m-1 a^k b^m-1-k + b^m ) , substituímos na expressão:
= (a - b) ( sumk=0^m-1 a^k+1 b^m-1-k + b^m )
= (a - b) ( sumk=1^m a^k b^m - k + b^m )
Agora, vamos reorganizar a soma:
= (a - b) sumk=0^m a^k b^m - k
Portanto, mostramos que se a afirmação é verdadeira para , então também é verdadeira para .

Resposta

Assim, por indução matemática, provamos que para todo inteiro positivo a^n - b^n = (a - b) sumk=0^n-1 a^k b^n-1-k :

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