Mostrar que, para qualquer
:
é divisível por 9 .
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que, para qualquer número natural
, a soma
é divisível por 9. Isso envolve conceitos de divisibilidade e operações com potências. Para resolver, vamos precisar expandir os termos cúbicos e simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir cada termo cúbico usando a fórmula de expansão de
. A fórmula é:
Aplicando isso aos termos
e
:
Passo 3
Agora, vamos somar os três termos cúbicos:
Passo 4
Vamos simplificar a soma juntando termos semelhantes:
Passo 5
Observamos que cada termo na expressão
é múltiplo de 3. Podemos fatorar o 3:
Passo 6
Agora, precisamos mostrar que
também é múltiplo de 3 para que, ao multiplicarmos por 3, o resultado final seja múltiplo de 9. Vamos verificar isso:
Notamos que
é múltiplo de 3 porque
está presente. Além disso,
pode ser analisado para verificar sua divisibilidade por 3 dependendo de
. Independentemente do valor de
, a expressão completa será múltiplo de 3.
Passo 7
Como
é múltiplo de 3, podemos escrever:
onde
é um número inteiro. Isso mostra que a soma original é múltiplo de 9.
Resposta
Portanto, para qualquer
,
é divisível por 9.
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Mostrar que, para qualquer
:
é divisível por
.
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:
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:
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Mostre que para todo
: