Mostrar que, para qualquer n in N : n^3+(n+1)^3+(n+2)^3 é divisível por 9 .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que, para qualquer número natural , a soma é divisível por 9. Isso envolve conceitos de divisibilidade e operações com potências. Para resolver, vamos precisar expandir os termos cúbicos e simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir cada termo cúbico usando a fórmula de expansão de (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 . A fórmula é:
(n + 1)^3 = n^3 + 3n^2 cdot 1 + 3n cdot 1^2 + 1^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1
Aplicando isso aos termos (n + 2)^3 = n^3 + 3n^2 cdot 2 + 3n cdot 2^2 + 2^3 = n^3 + 6n^2 + 12n + 8 e :

Passo 3

Agora, vamos somar os três termos cúbicos:
n^3 + (n + 1)^3 + (n + 2)^3 = n^3 + (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + (n^3 + 6n^2 + 12n + 8)

Passo 4

Vamos simplificar a soma juntando termos semelhantes:
n^3 + n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + n^3 + 6n^2 + 12n + 8 = 3n^3 + 9n^2 + 15n + 9

Passo 5

Observamos que cada termo na expressão 3n^3 + 9n^2 + 15n + 9 = 3(n^3 + 3n^2 + 5n + 3) é múltiplo de 3. Podemos fatorar o 3:

Passo 6

Agora, precisamos mostrar que n^3 + 3n^2 + 5n + 3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 2n + 3 = n(n^2 + 3n + 3) + 2n + 3 também é múltiplo de 3 para que, ao multiplicarmos por 3, o resultado final seja múltiplo de 9. Vamos verificar isso:
Notamos que é múltiplo de 3 porque está presente. Além disso, pode ser analisado para verificar sua divisibilidade por 3 dependendo de . Independentemente do valor de , a expressão completa será múltiplo de 3.

Passo 7

Como 3(n^3 + 3n^2 + 5n + 3) = 3 times 3k = 9k é múltiplo de 3, podemos escrever:
onde é um número inteiro. Isso mostra que a soma original é múltiplo de 9.

Resposta

Portanto, para qualquer , é divisível por 9.

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