Mostrar que, para qualquer
:
é divisível por
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que, para qualquer número natural
, a expressão
é divisível por
. Isso está relacionado com a matéria de Teoria dos Números, especificamente sobre divisibilidade e propriedades de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que
é divisível por
. Em outras palavras, queremos provar que quando dividimos
por
, o resto da divisão é zero. Ou seja:
Passo 3
Para provar isso para qualquer
, vamos usar indução matemática, que é uma técnica para provar afirmações que dependem de um número natural
. A indução tem dois passos:
- Base da indução: Mostrar que a afirmação é verdadeira para um valor inicial, geralmente
. - Passo indutivo: Mostrar que, se a afirmação é verdadeira para
, então ela também é verdadeira para .
Passo 4
Base da Indução (
):
Vamos verificar se
é divisível por
.
Calculando:
Como
dividido por
dá exatamente
com resto
, a afirmação é verdadeira para
.
Passo 5
Passo Indutivo:
Vamos assumir que a afirmação é verdadeira para
, ou seja:
Isso significa que
divide
sem deixar resto.
Passo 6
Agora, precisamos mostrar que a afirmação também é verdadeira para
, ou seja:
Vamos reescrever
como
, então:
Passo 7
Vamos usar a identidade algébrica:
Com
e
, temos:
Ou seja:
Passo 8
Pela hipótese de indução, sabemos que
é divisível por
. Portanto, o produto
será divisível por
.
Além disso, precisamos mostrar que a segunda parte do produto também contribui com um fator adicional de
, para que o total seja divisível por
.
Passo 9
Observamos que
(pela hipótese de indução). Então:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Subtraindo
e adicionando
:
Isso mostra que
é divisível por
.
Passo 10
Portanto, o produto completo é divisível por
. Isso completa o passo indutivo.
Resposta
Pelo princípio da indução matemática, mostramos que
é divisível por
para todo número natural
.
Exercícios relacionados
Mostrar que, para qualquer
:
é divisível por 16 .
Mostre que para todo
:
Mostrar que, para qualquer
:
é divisível por 9 .
Mostrar que, para qualquer
:
é divisível por 133 .