Mostrar que, para qualquer n in N : 2^3^n+1 é divisível por 3^n+1.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que, para qualquer número natural n, a expressão 2^3^n + 1 é divisível por 3^n+1. Isso está relacionado com a matéria de Teoria dos Números, especificamente sobre divisibilidade e propriedades de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que 2^3^n + 1 é divisível por 3^n+1. Em outras palavras, queremos provar que quando dividimos 2^3^n + 1 por 3^n+1, o resto da divisão é zero. Ou seja:
2^3^n + 1 equiv 0 pmod3^n+1

Passo 3

Para provar isso para qualquer n in N, vamos usar indução matemática, que é uma técnica para provar afirmações que dependem de um número natural n. A indução tem dois passos:
  1. Base da indução: Mostrar que a afirmação é verdadeira para um valor inicial, geralmente n=1.
  2. Passo indutivo: Mostrar que, se a afirmação é verdadeira para n=k, então ela também é verdadeira para n=k+1.

Passo 4

Base da Indução ( n=1):
Vamos verificar se 2^3^1 + 1 é divisível por 3^1+1 = 9.
Calculando:
2^3^1 + 1 = 2^3 + 1 = 8 + 1 = 9
Como 9 dividido por 9 dá exatamente 1 com resto 0, a afirmação é verdadeira para n=1.

Passo 5

Passo Indutivo:
Vamos assumir que a afirmação é verdadeira para n=k, ou seja:
2^3^k + 1 equiv 0 pmod3^k+1
Isso significa que 3^k+1 divide 2^3^k + 1 sem deixar resto.

Passo 6

Agora, precisamos mostrar que a afirmação também é verdadeira para n=k+1, ou seja:
2^3^k+1 + 1 equiv 0 pmod3^(k+1)+1 = 3^k+2
Vamos reescrever 3^k+1 como 3 cdot 3^k, então:
2^3^k+1 + 1 = 2^3 cdot 3^k + 1 = (2^3^k)^3 + 1

Passo 7

Vamos usar a identidade algébrica:
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
Com a = 2^3^k e b = 1, temos:
(2^3^k)^3 + 1^3 = (2^3^k + 1)((2^3^k)^2 - 2^3^k cdot 1 + 1^2)
Ou seja:
2^3^k+1 + 1 = (2^3^k + 1)(2^2 cdot 3^k - 2^3^k + 1)

Passo 8

Pela hipótese de indução, sabemos que 2^3^k + 1 é divisível por 3^k+1. Portanto, o produto (2^3^k + 1)(2^2 cdot 3^k - 2^3^k + 1) será divisível por 3^k+1.
Além disso, precisamos mostrar que a segunda parte do produto também contribui com um fator adicional de 3, para que o total seja divisível por 3^k+2.

Passo 9

Observamos que 2^3^k equiv -1 pmod3^k+1 (pela hipótese de indução). Então:
2^3^k + 1 equiv 0 pmod3^k+1
Elevando ambos os lados ao quadrado:
(2^3^k)^2 equiv (-1)^2 equiv 1 pmod3^k+1
Subtraindo 2^3^k e adicionando 1:
2^2 cdot 3^k - 2^3^k + 1 equiv 1 - (-1) + 1 = 3 pmod3^k+1
Isso mostra que 2^2 cdot 3^k - 2^3^k + 1 é divisível por 3.

Passo 10

Portanto, o produto completo é divisível por 3^k+1 cdot 3 = 3^k+2. Isso completa o passo indutivo.

Resposta

Pelo princípio da indução matemática, mostramos que 2^3^n + 1 é divisível por 3^n+1 para todo número natural n.

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