Mostrar que, para qualquer n in N : 3^2 n+2+8 n-9 é divisível por 16 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa provar aqui é que, para qualquer número natural , a expressão é divisível por 16. Isso está relacionado ao tema de divisibilidade e, para resolver, vamos usar o Princípio da Matemática Indutiva. Esse princípio nos permite mostrar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais, começando por um caso base e, em seguida, demonstrando que se ela vale para um caso qualquer, também vale para o próximo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o caso base, que geralmente é quando 3^2(1)+2 + 8(1) - 9 = 3^4 + 8 - 9 = 81 + 8 - 9 = 80 .
Calculando:
80 div 16 = 5
Agora, verificamos se 80 é divisível por 16:
Como o resultado é um número inteiro, é de fato divisível por 16. Então, o caso base está OK!

Passo 3

Agora, vamos supor que a afirmação seja verdadeira para um certo 3^2k+2 + 8k - 9 é divisível por 16 . Ou seja, estamos assumindo que:
3^2k+2 + 8k - 9 = 16m éí
Isso significa que existe algum número inteiro tal que:
Essa é a nossa hipótese de indução.

Passo 4

Nosso próximo passo é mostrar que, se a afirmação vale para 3^2(k+1)+2 + 8(k+1) - 9 = 3^2k+4 + 8k + 8 - 9 , então também vale para 9 cdot 3^2k+2 + 8k - 1 . Vamos calcular a expressão para 3^2k+2 = 16m - 8k + 9 :
9(16m - 8k + 9) + 8k - 1 = 144m - 72k + 81 + 8k - 1 = 144m - 64k + 80
Podemos reescrever 144m - 64k + 80 = 16(9m - 4k + 5) como :
Agora, substituímos usando a nossa hipótese de indução:
Substituindo na expressão:
Podemos fatorar 16:
Como é claramente divisível por 16, mostramos que a expressão também vale para .

Resposta

Assim, por indução matemática, concluímos que para todo , a expressão é divisível por 16.

Exercícios relacionados

Mostre que para todo n in N :
(1)(3)(5) cdots(2 n-1)(2)(4)(6) cdots(2 n) <= 1raiz3 n+1
Mostrar que, para qualquer n in N : 4^n+15 n-1 é divisível por 9 .
Mostrar que, para qualquer n in N : 2^3^n+1 é divisível por 3^n+1.
Mostrar que, para qualquer n in N : n^3+(n+1)^3+(n+2)^3 é divisível por 9 .