Mostrar que, para qualquer
:
é divisível por 16 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa provar aqui é que, para qualquer número natural
, a expressão
é divisível por 16. Isso está relacionado ao tema de divisibilidade e, para resolver, vamos usar o Princípio da Matemática Indutiva. Esse princípio nos permite mostrar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais, começando por um caso base e, em seguida, demonstrando que se ela vale para um caso qualquer, também vale para o próximo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o caso base, que geralmente é quando
.
Calculando:
Agora, verificamos se 80 é divisível por 16:
Como o resultado é um número inteiro,
é de fato divisível por 16. Então, o caso base está OK!
Passo 3
Agora, vamos supor que a afirmação seja verdadeira para um certo
. Ou seja, estamos assumindo que:
Isso significa que existe algum número inteiro
tal que:
Essa é a nossa hipótese de indução.
Passo 4
Nosso próximo passo é mostrar que, se a afirmação vale para
, então também vale para
. Vamos calcular a expressão para
:
Podemos reescrever
como
:
Agora, substituímos
usando a nossa hipótese de indução:
Substituindo na expressão:
Podemos fatorar 16:
Como
é claramente divisível por 16, mostramos que a expressão também vale para
.
Resposta
Assim, por indução matemática, concluímos que para todo
, a expressão
é divisível por 16.
Exercícios relacionados
Mostre que para todo
:
Mostrar que, para qualquer
:
é divisível por 9 .
Mostrar que, para qualquer
:
é divisível por
.
Mostrar que, para qualquer
:
é divisível por 9 .