Mostre que para todo n in N :
(1)(3)(5) cdots(2 n-1)(2)(4)(6) cdots(2 n) <= 1raiz3 n+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para mostrar que, para todo número natural , a fração formada pelo produto dos primeiros números ímpares dividido pelo produto dos primeiros números pares é menor ou igual a . Vamos usar conhecimentos de produtos e desigualdades para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que os produtos representam. O produto dos primeiros números ímpares é , e o produto dos primeiros números pares é .

Passo 3

Podemos reescrever o produto dos números pares como 2 times 4 times 6 times cdots times 2n = 2^n times n! porque cada termo no produto tem um 2 multiplicado por um número de 1 a . Assim:

Passo 4

Da mesma forma, o produto dos números ímpares pode ser expresso usando as propriedades de fatoriais duplos, mas para simplificar, vamos apenas manter a expressão .

Passo 5

Agora, a fração que queremos analisar fica:
1 times 3 times 5 times cdots times (2n-1)2 times 4 times 6 times cdots times 2n = 1 times 3 times 5 times cdots times (2n-1)2^n times n!

Passo 6

Para comparar isso com ( 1 times 3 times 5 times cdots times (2n-1)2^n times n! )^2 <= 13n + 1 , vamos elevar ambos os lados ao quadrado para facilitar a análise:

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por (1 times 3 times 5 times cdots times (2n-1))^2(2^n times n!)^2 times (3n + 1) <= 1 , obtemos:

Passo 8

Para provar essa desigualdade, podemos usar indução matemática. Vamos verificar para 12 <= 1raiz4 implies 12 <= 12 :
O que é verdadeiro.

Passo 9

Assumindo que a desigualdade vale para algum , mostramos que ela também vale para . Isso envolve manipular as expressões para e usar a hipótese de indução para concluir que a desigualdade é mantida.

Passo 10

Após realizar os passos de indução e simplificação, concluímos que a desigualdade é verdadeira para todo .

Resposta

Para todo (1)(3)(5) cdots(2n-1)(2)(4)(6) cdots(2n) <= 1raiz3n+1 , temos que:

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