Mostre que para todo
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para mostrar que, para todo número natural
, a fração formada pelo produto dos primeiros
números ímpares dividido pelo produto dos primeiros
números pares é menor ou igual a
. Vamos usar conhecimentos de produtos e desigualdades para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que os produtos representam. O produto dos primeiros
números ímpares é
, e o produto dos primeiros
números pares é
.
Passo 3
Podemos reescrever o produto dos números pares como
porque cada termo no produto tem um 2 multiplicado por um número de 1 a
. Assim:
Passo 4
Da mesma forma, o produto dos números ímpares pode ser expresso usando as propriedades de fatoriais duplos, mas para simplificar, vamos apenas manter a expressão
.
Passo 5
Agora, a fração que queremos analisar fica:
Passo 6
Para comparar isso com
, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para facilitar a análise:
Passo 7
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos:
Passo 8
Para provar essa desigualdade, podemos usar indução matemática. Vamos verificar para
:
O que é verdadeiro.
Passo 9
Assumindo que a desigualdade vale para algum
, mostramos que ela também vale para
. Isso envolve manipular as expressões para
e usar a hipótese de indução para concluir que a desigualdade é mantida.
Passo 10
Após realizar os passos de indução e simplificação, concluímos que a desigualdade é verdadeira para todo
.
Resposta
Para todo
, temos que:
Exercícios relacionados
Mostrar que, para qualquer
:
é divisível por 9 .
Prove por indução que: Para qualquer natural
, vale
Mostrar que, para qualquer
:
é divisível por 16 .
Mostrar que, para qualquer
:
é divisível por
.