Mostrar a relação entre
e o coeficiente de Joule-Thompson
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar a relação entre a derivada parcial da entalpia
em relação à pressão
mantendo a temperatura
constante, ou seja,
, e o coeficiente de Joule-Thomson
. Para isso, vamos utilizar conceitos de termodinâmica, especialmente as propriedades dos processos a temperatura constante e a definição do coeficiente de Joule-Thomson.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a entalpia
é uma função de estado que pode ser expressa como:
onde
é a energia interna,
é a pressão e
é o volume.
Passo 3
A derivada da entalpia em relação à pressão a temperatura constante é dada por:
Vamos calcular cada termo separadamente.
Passo 4
Primeiro, calculamos
:
Passo 5
Agora, precisamos relacionar
. Sabemos que a energia interna
pode depender da pressão, mas a relação exata pode ser complexa. No entanto, para simplificar, vamos usar a relação termodinâmica que liga a entalpia, a energia interna e outras propriedades.
Passo 6
Utilizando a primeira lei da termodinâmica e considerando processos a temperatura constante, podemos obter:
Essa relação é derivada das propriedades termodinâmicas e relações de Maxwell.
Passo 7
Agora, vamos introduzir o coeficiente de Joule-Thomson
, que é definido como:
Ele descreve a variação da temperatura com a pressão durante um processo isotérmico de expansão.
Passo 8
Para conectar
com
, usamos a relação que envolve a capacidade térmica a pressão constante
:
Essa equação mostra como a derivada da entalpia em relação à pressão está diretamente relacionada ao coeficiente de Joule-Thomson e à capacidade térmica a pressão constante.
Resposta
A relação entre
e o coeficiente de Joule-Thomson
é dada por: