Mostrar que: s I: nabla v=s(nabla cdot v) onde I é o tensor identidade dado por I=de (delta de Kröenecher.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que:
s I : nabla v = s (nabla cdot v)
Aqui, é o tensor identidade, definido pelo delta de Kronecker . O conteúdo envolvido é cálculo tensorial, especificamente operações de contração e divergência. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a multiplicação de tensores e a operação de divergência em termos de índices.

Passo 2

Vamos começar lembrando o que significa o tensor identidade Iij = de. Ele é definido por seus componentes:
onde é o delta de Kronecker, que é 1 quando e 0 caso contrário. O tensor identidade basicamente “não muda” qualquer vetor ou tensor com o qual ele seja multiplicado.

Passo 3

Agora, vamos entender a operação s Iij (nabla v)ij . O símbolo “:” representa a contração de dois tensores, o que significa somar sobre os índices correspondentes. Em índices, isso fica:
Aqui, é um escalar multiplicando o tensor identidade.

Passo 4

Sabemos que o gradiente de (nabla v)ij = partial vjpartial xi , denotado por nabla cdot v = partial vipartial xi , tem componentes:
A divergência de é a soma das derivadas parciais dos componentes de :
Observe que na divergência, somamos sobre o índice repetido .

Passo 5

Voltando à expressão original, vamos substituir os componentes:
s Iij (nabla v)ij = s de
Como s partial vipartial xi é 1 quando e 0 caso contrário, a expressão acima simplifica para:

Passo 6

Mas s partial vipartial xi = s (nabla cdot v) é exatamente a definição da divergência de . Portanto, temos:

Resposta

Assim, mostramos que:
s I : nabla v = s (nabla cdot v)

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