Mostrar que:
onde I é o tensor identidade dado por
(delta de Kröenecher.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que:
Aqui,
é o tensor identidade, definido pelo delta de Kronecker
. O conteúdo envolvido é cálculo tensorial, especificamente operações de contração e divergência. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a multiplicação de tensores e a operação de divergência em termos de índices.
Passo 2
Vamos começar lembrando o que significa o tensor identidade
. Ele é definido por seus componentes:
onde
é o delta de Kronecker, que é 1 quando
e 0 caso contrário. O tensor identidade basicamente “não muda” qualquer vetor ou tensor com o qual ele seja multiplicado.
Passo 3
Agora, vamos entender a operação
. O símbolo “:” representa a contração de dois tensores, o que significa somar sobre os índices correspondentes. Em índices, isso fica:
Aqui,
é um escalar multiplicando o tensor identidade.
Passo 4
Sabemos que o gradiente de
, denotado por
, tem componentes:
A divergência de
é a soma das derivadas parciais dos componentes de
:
Observe que na divergência, somamos sobre o índice repetido
.
Passo 5
Voltando à expressão original, vamos substituir os componentes:
Como
é 1 quando
e 0 caso contrário, a expressão acima simplifica para:
Passo 6
Mas
é exatamente a definição da divergência de
. Portanto, temos:
Resposta
Assim, mostramos que: