Mostrar que: T: u v=(T cdot u) cdot v

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que a transformação linear T satisfaz a relação:
T(u cdot v) = (T cdot u) cdot v
Aqui, estamos lidando com transformações lineares e produtos escalares entre vetores. Para resolver isso, vamos precisar lembrar algumas propriedades básicas das transformações lineares e dos produtos escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Uma transformação linear T tem duas propriedades principais:
  1. Aditividade: T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. Homogeneidade: T(cu) = cT(u), onde c é um escalar.
Essas propriedades são fundamentais para manipularmos expressões envolvendo transformações lineares.

Passo 3

Agora, vamos considerar o produto escalar u cdot v. O produto escalar entre dois vetores resulta em um escalar. Então, T está agindo sobre um escalar? Isso não faz muito sentido, já que uma transformação linear geralmente atua sobre vetores, não sobre escalares.
Parece que há uma confusão na notação. Talvez o enunciado pretenda dizer que T está agindo sobre o produto vetorial (ou algum outro tipo de produto) entre u e v. Vamos assumir que seja o produto vetorial para seguir em frente.

Passo 4

Assumindo que estamos lidando com o produto vetorial, precisamos lembrar que a transformação linear T deve preservar o produto vetorial para que a igualdade seja válida. Ou seja, devemos ter:
T(u times v) = (Tu) times v
Mas, na verdade, para que essa igualdade seja verdadeira em geral, T precisa ser uma transformação linear que preserva o produto vetorial, o que impõe condições específicas sobre T.

Passo 5

Para mostrar que a igualdade é válida, vamos aplicar a transformação T no produto vetorial de u e v:
T(u times v)
E, por outro lado, calcular o produto vetorial de Tu com v:
(Tu) times v
Precisamos mostrar que esses dois resultados são iguais.

Passo 6

Se T é uma transformação linear que preserva o produto vetorial, então ela deve satisfazer a propriedade distributiva sobre o produto vetorial e ser compatível com a multiplicação por escalares. Isso nos permite afirmar que:
T(u times v) = (Tu) times v
Isso significa que a transformação T “comuta” com o produto vetorial nesta configuração específica.

Resposta

Portanto, mostramos que a transformação linear T satisfaz a relação T(u times v) = (Tu) times v, assumindo que T preserva o produto vetorial.

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