Mostrar que:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que a transformação linear satisfaz a relação:
Aqui, estamos lidando com transformações lineares e produtos escalares entre vetores. Para resolver isso, vamos precisar lembrar algumas propriedades básicas das transformações lineares e dos produtos escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Uma transformação linear tem duas propriedades principais:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade: , onde é um escalar.
Essas propriedades são fundamentais para manipularmos expressões envolvendo transformações lineares.

Passo 3

Agora, vamos considerar o produto escalar . O produto escalar entre dois vetores resulta em um escalar. Então, está agindo sobre um escalar? Isso não faz muito sentido, já que uma transformação linear geralmente atua sobre vetores, não sobre escalares.
Parece que há uma confusão na notação. Talvez o enunciado pretenda dizer que está agindo sobre o produto vetorial (ou algum outro tipo de produto) entre e . Vamos assumir que seja o produto vetorial para seguir em frente.

Passo 4

Assumindo que estamos lidando com o produto vetorial, precisamos lembrar que a transformação linear deve preservar o produto vetorial para que a igualdade seja válida. Ou seja, devemos ter:
Mas, na verdade, para que essa igualdade seja verdadeira em geral, precisa ser uma transformação linear que preserva o produto vetorial, o que impõe condições específicas sobre .

Passo 5

Para mostrar que a igualdade é válida, vamos aplicar a transformação no produto vetorial de e :
E, por outro lado, calcular o produto vetorial de com :
Precisamos mostrar que esses dois resultados são iguais.

Passo 6

Se é uma transformação linear que preserva o produto vetorial, então ela deve satisfazer a propriedade distributiva sobre o produto vetorial e ser compatível com a multiplicação por escalares. Isso nos permite afirmar que:
Isso significa que a transformação “comuta” com o produto vetorial nesta configuração específica.

Resposta

Portanto, mostramos que a transformação linear satisfaz a relação , assumindo que preserva o produto vetorial.

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