Mostrar que: u v: T=u cdot(v cdot T)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que (u v) : T = u cdot (v cdot T). Estamos lidando com operadores de produtos entre vetores e tensores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa cada operação e como elas interagem entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o produto tensorial (u v). Quando você faz u v, está criando um tensor de segunda ordem a partir dos vetores u e v. Cada componente desse tensor é dada pelo produto das componentes correspondentes dos vetores.

Passo 3

Agora, o símbolo “:” representa a contração dupla entre dois tensores. Então, (u v) : T significa que vamos contrair duas vezes esse tensor com o tensor T. Isso basicamente envolve multiplicar e somar as componentes correspondentes.

Passo 4

Por outro lado, temos v cdot T. Aqui, o ponto “·” representa a contração simples entre o vetor v e o tensor T. O resultado dessa operação é um vetor, onde cada componente é a soma dos produtos das componentes de v com as linhas correspondentes de T.

Passo 5

Depois de obter v cdot T, fazemos u cdot (v cdot T). Isso significa que vamos agora fazer um produto escalar entre o vetor u e o vetor resultante de v cdot T. O resultado final é um escalar.

Passo 6

Para mostrar que (u v) : T é igual a u cdot (v cdot T), vamos calcular ambos os lados:
  • Lado esquerdo: (u v) : T = sumi,j ui vj Tij
  • Lado direito: u cdot (v cdot T) = sumi ui ( sumj vj Tij ) = sumi,j ui vj Tij

Resposta

Como os dois lados resultam em sumi,j ui vj Tij, concluímos que (u v) : T = u cdot (v cdot T).

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