Mostrar que:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que . Estamos lidando com operadores de produtos entre vetores e tensores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa cada operação e como elas interagem entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o produto tensorial . Quando você faz , está criando um tensor de segunda ordem a partir dos vetores e . Cada componente desse tensor é dada pelo produto das componentes correspondentes dos vetores.

Passo 3

Agora, o símbolo “:” representa a contração dupla entre dois tensores. Então, significa que vamos contrair duas vezes esse tensor com o tensor . Isso basicamente envolve multiplicar e somar as componentes correspondentes.

Passo 4

Por outro lado, temos . Aqui, o ponto “·” representa a contração simples entre o vetor e o tensor . O resultado dessa operação é um vetor, onde cada componente é a soma dos produtos das componentes de com as linhas correspondentes de .

Passo 5

Depois de obter , fazemos . Isso significa que vamos agora fazer um produto escalar entre o vetor e o vetor resultante de . O resultado final é um escalar.

Passo 6

Para mostrar que é igual a , vamos calcular ambos os lados:
  • Lado esquerdo:
  • Lado direito:

Resposta

Como os dois lados resultam em , concluímos que .

Exercícios relacionados

descongelamento do para-brisa de um automóvel funciona através da descarga de ar morno na sua superfície interna. Para prevenir condensação do vapor de água sobre a superfície, a temperatura do ar e o coeficiente convectivo na superfície ( ) devem ser grandes o suficiente para manter a temperatura da superfície maior do que a temperatura do ponto de orvalho ( ). Considere um para-brisa ( ) de comprimento e espessura , e que o carro viaja a uma velocidade de em um ar ambiente a . De experimentos em laboratório desenvolvidos em um modelo do veículo, sabe-se que o coeficiente médio convectivo na superfície externa do para-brisa pode ser avaliado pela correlação:
As propriedades do ar são e . Considerando que a temperaturano interior do automóvel é de , qual o menor valor de coeficiente convectivo no interior do automóvel ( ) para evitar a condensação na superfície interna do para-brisa?
A superfície de uma placa de aço de é mantida a uma temperatura de . Uma corrente de ar é soprada por um ventilador e passa por sobre a superfície da placa. O ar se encontra a uma temperatura de . Calcular a taxa de transferência de calor trocado por convecção, entre a placa e o ar, considerando um coeficiente de troca de calor por convecção de .
Leite está sendo resfriado por água em um trocador de calor de tubo duplo em contracorrente. Se o leite flui a uma taxa de , e deve ser resfriado de até , estime a taxa de fluxo de água se ela sofre uma variação de temperatura de . Calcule a diferença temperatura média logarítmica através do trocador de calor, se a água entra no trocador a . (R: )
Um bueiro tem uma tampa de 752 N de peso, considerando que o diâmetro do poço de visita seja de 76 cm , determine qual será o nível mínimo de água que deverá atuar sob a tampa para que ela levante.
Resp: