Mostrar que
y = log_a(x) / x
tem seu máximo em x = e para todos os números a > 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para mostrar que a função atinge seu valor máximo quando , onde . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar onde a função atinge seu ponto mais alto.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função usando logaritmos naturais, pois eles facilitam o cálculo. Sabemos que . Então, nossa função fica:
Como é uma constante (já que ), podemos focar na parte para encontrar o máximo.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a para determinar onde ela atinge seu máximo. A derivada nos mostra a taxa de variação da função, e os pontos onde a derivada é zero são candidatos a máximos ou mínimos.
A função que vamos derivar é:
Vamos usar a regra do quociente para derivar:

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, onde a função pode ter máximos ou mínimos, igualamos a derivada a zero:
O denominador nunca é zero para , então resolvemos o numerador:

Passo 5

Agora, precisamos confirmar que realmente é um ponto de máximo. Podemos fazer isso analisando o sinal da derivada antes e depois de :
  • Para : , então , e a derivada . A função está crescendo.
  • Para : , então , e a derivada . A função está decrescendo.
Como a função passa de crescente para decrescente em , isso confirma que é um ponto de máximo.

Resposta

A função atinge seu valor máximo em para todo .

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