Mostrar que
tem seu máximo em
para todos os números
.
tem seu máximo em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para mostrar que a função
atinge seu valor máximo quando
, onde
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar onde a função atinge seu ponto mais alto.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função usando logaritmos naturais, pois eles facilitam o cálculo. Sabemos que
. Então, nossa função fica:
Como
é uma constante (já que
), podemos focar na parte
para encontrar o máximo.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
para determinar onde ela atinge seu máximo. A derivada nos mostra a taxa de variação da função, e os pontos onde a derivada é zero são candidatos a máximos ou mínimos.
A função que vamos derivar é:
Vamos usar a regra do quociente para derivar:
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, onde a função pode ter máximos ou mínimos, igualamos a derivada a zero:
O denominador
nunca é zero para
, então resolvemos o numerador:
Passo 5
Agora, precisamos confirmar que
realmente é um ponto de máximo. Podemos fazer isso analisando o sinal da derivada antes e depois de
:
- Para
: , então , e a derivada . A função está crescendo. - Para
: , então , e a derivada . A função está decrescendo.
Como a função passa de crescente para decrescente em
, isso confirma que
é um ponto de máximo.
Resposta
A função
atinge seu valor máximo em
para todo
.
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19.1) ;
19.2) .
19.1)
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28.1)
28.3)
28.2)
28.4)
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