Usando o Teorema do Valor Médio, provar que
19.1)
;
19.2)
.
19.1)
19.2)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para provar duas desigualdades envolvendo a função seno usando o Teorema do Valor Médio. O conteúdo principal aqui é o Teorema do Valor Médio, que nos ajuda a relacionar a variação de uma função com sua derivada em um intervalo. Precisaremos entender como aplicar esse teorema à função seno para chegar às desigualdades propostas.
Passo 2
Parte 19.1: Queremos provar que
Primeiro, consideramos a função , que é contínua e diferenciável em todo
. Pelo Teorema do Valor Médio, existe um
entre
e
tal que
Tomando o valor absoluto dos dois lados da equação, temos
Passo 3
Sabemos que o cosseno de qualquer número real está limitado por 1, ou seja,
. Portanto,
Isso prova a primeira desigualdade.
Passo 4
Parte 19.2: Queremos provar que
Aqui, podemos usar a parte anterior onde consideramos
. Assim, temos
Sabemos que , então:
Como
, podemos remover os valores absolutos:
Isso completa a segunda parte da prova.
Resposta
Propriedades demonstradas usando o Teorema do Valor Médio:
19.1) para todos
;
19.2) para
.
Exercícios relacionados
Uma escada de
está encostada em uma parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada do pé da parede a uma velocidade constante de
, com que velocidade a extremidade superior da escada estará descendo quando o pé da escada estiver a
da parede?
Encontre valores aproximados para as raízes abaixo:
4.1)
|4.2)
| 4.3)
4.1)
|4.2)
| 4.3)
Mostrar que
tem seu máximo em para todos os números
.
tem seu máximo em
Qual é o retângulo de perímetro máximo inscrito no círculo de raio
?