Usando o Teorema do Valor Médio, provar que
19.1) ;
19.2) .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para provar duas desigualdades envolvendo a função seno usando o Teorema do Valor Médio. O conteúdo principal aqui é o Teorema do Valor Médio, que nos ajuda a relacionar a variação de uma função com sua derivada em um intervalo. Precisaremos entender como aplicar esse teorema à função seno para chegar às desigualdades propostas.

Passo 2

Parte 19.1: Queremos provar que
Primeiro, consideramos a função , que é contínua e diferenciável em todo . Pelo Teorema do Valor Médio, existe um entre e tal que
Tomando o valor absoluto dos dois lados da equação, temos

Passo 3

Sabemos que o cosseno de qualquer número real está limitado por 1, ou seja, . Portanto,
Isso prova a primeira desigualdade.

Passo 4

Parte 19.2: Queremos provar que
Aqui, podemos usar a parte anterior onde consideramos . Assim, temos
Sabemos que , então:
Como , podemos remover os valores absolutos:
Isso completa a segunda parte da prova.

Resposta

Propriedades demonstradas usando o Teorema do Valor Médio:
19.1) para todos ;
19.2) para .

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