Usando o Teorema do Valor Médio, provar que
19.1)
;
19.2)
.
19.1)
19.2)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para provar duas desigualdades envolvendo a função seno usando o Teorema do Valor Médio. O conteúdo principal aqui é o Teorema do Valor Médio, que nos ajuda a relacionar a variação de uma função com sua derivada em um intervalo. Precisaremos entender como aplicar esse teorema à função seno para chegar às desigualdades propostas.
Passo 2
Parte 19.1: Queremos provar que
Primeiro, consideramos a função , que é contínua e diferenciável em todo
. Pelo Teorema do Valor Médio, existe um
entre
e
tal que
Tomando o valor absoluto dos dois lados da equação, temos
Passo 3
Sabemos que o cosseno de qualquer número real está limitado por 1, ou seja,
. Portanto,
Isso prova a primeira desigualdade.
Passo 4
Parte 19.2: Queremos provar que
Aqui, podemos usar a parte anterior onde consideramos
. Assim, temos
Sabemos que , então:
Como
, podemos remover os valores absolutos:
Isso completa a segunda parte da prova.
Resposta
Propriedades demonstradas usando o Teorema do Valor Médio:
19.1) para todos
;
19.2) para
.