Mostre que se 0 < a < b, então a^2 < b^2.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que, se temos dois números positivos onde a é menor que b (ou seja, ), então o quadrado de a também será menor que o quadrado de b ( ). Para resolver isso, vamos usar propriedades de desigualdades e operações com números reais.

Passo 2

Primeiro, sabemos que . Isso significa que tanto a quanto b são números positivos, e b é maior que a.

Passo 3

Como ambos os lados da desigualdade são positivos, podemos multiplicar a desigualdade por a sem alterar o sentido da desigualdade. Assim, multiplicamos todos os termos por a:
Simplificando:

Passo 4

Agora, sabemos que , e a é positivo. Podemos multiplicar ambos os lados por a novamente:
Simplificando:

Passo 5

Como temos que e , podemos concluir que .

Resposta

Portanto, mostramos que se , então .

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