Mostre que se , então .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que, se temos dois números positivos onde é menor que (ou seja, ), então o quadrado de também será menor que o quadrado de ( ). Para resolver isso, vamos usar propriedades de desigualdades e operações com números reais.

Passo 2

Primeiro, sabemos que . Isso significa que tanto quanto são números positivos, e é maior que .

Passo 3

Como ambos os lados da desigualdade são positivos, podemos multiplicar a desigualdade por sem alterar o sentido da desigualdade. Assim, multiplicamos todos os termos por :
Simplificando:

Passo 4

Agora, sabemos que , e é positivo. Podemos multiplicar ambos os lados por novamente:
Simplificando:

Passo 5

Como temos que e , podemos concluir que .

Resposta

Portanto, mostramos que se , então .

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Use a Regra 3 para demonstrar a Regra 5 de (2)
Suponha que e . Use a Desigualdade Triangular para mostrar que .
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Resolva a inequação em termos de intervalos e represente o conjunto solução na reta real.