Mostre que o alcance sem rotação (A_SR) vale
(i) Calculando a velocidade da esfera na direção usando o princípio da conservação da energia

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que o alcance sem rotação é igual a . Para isso, vamos usar conceitos de física, especificamente o princípio da conservação da energia, para calcular a velocidade da esfera na direção . Vamos precisar entender como a energia potencial se transforma em energia cinética para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do princípio da conservação da energia, que diz que a energia total num sistema isolado permanece constante. Ou seja, a energia que a esfera tem no início (energia potencial devido à altura) vai se transformar em energia cinética quando ela começa a se mover.
A equação geral fica assim:
Onde:
  • é a energia cinética,
  • é a energia potencial gravitacional.

Passo 3

Vamos identificar as energias envolvidas. No ponto inicial:
  • A esfera está parada, então a energia cinética .
  • A energia potencial inicial é , onde:
    • é a massa da esfera,
    • é a aceleração da gravidade,
    • é a altura total.
No ponto final:
  • A energia cinética é , onde é a velocidade na direção .
  • A energia potencial final é .

Passo 4

Substituindo na equação da conservação da energia:
Podemos simplificar o que está em todos os termos:

Passo 5

Agora, vamos isolar :
Multiplicando ambos os lados por 2 para resolver para :

Passo 6

Finalizando, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar :

Resposta

A velocidade da esfera na direção é .

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