Mostre que o alcance sem rotação (A_SR) vale AS R=2 raizy h
(i) Calculando a velocidade da esfera na direção x usando o princípio da conservação da energia
Kc 1+Ug 1=Kc 2+Ug 2 0+m g(y+h)=12 m vx^2+m g h m g(y+h)=12 m vx^2+m g h g(y+h)=12 vx^2+g h 12 vx^2=g y+g h-g h vx^2=2 g y vx=raiz2 g y

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que o alcance sem rotação é igual a . Para isso, vamos usar conceitos de física, especificamente o princípio da conservação da energia, para calcular a velocidade da esfera na direção . Vamos precisar entender como a energia potencial se transforma em energia cinética para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do princípio da conservação da energia, que diz que a energia total num sistema isolado permanece constante. Ou seja, a energia que a esfera tem no início (energia potencial devido à altura) vai se transformar em energia cinética quando ela começa a se mover.
A equação geral fica assim:
Kc1 + Ug1 = Kc2 + Ug2
Onde:
  • é a energia cinética,
  • é a energia potencial gravitacional.

Passo 3

Vamos identificar as energias envolvidas. No ponto inicial:
  • A esfera está parada, então a energia cinética .
  • A energia potencial inicial é , onde:
    • é a massa da esfera,
    • é a aceleração da gravidade,
    • é a altura total.
No ponto final:
  • A energia cinética é , onde é a velocidade na direção .
  • A energia potencial final é .

Passo 4

Substituindo na equação da conservação da energia:
0 + m g (y + h) = 12 m vx^2 + m g h
Podemos simplificar o g (y + h) = 12 vx^2 + g h que está em todos os termos:

Passo 5

Agora, vamos isolar g (y + h) - g h = 12 vx^2 :
g y = 12 vx^2
vx^2 = 2 g y
Multiplicando ambos os lados por 2 para resolver para :

Passo 6

Finalizando, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar vx = raiz2 g y :

Resposta

A velocidade da esfera na direção é .

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