Mostre que o alcance sem rotação (A_SR) vale
(i) Calculando a velocidade da esfera na direção
usando o princípio da conservação da energia
(i) Calculando a velocidade da esfera na direção
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que o alcance sem rotação
é igual a
. Para isso, vamos usar conceitos de física, especificamente o princípio da conservação da energia, para calcular a velocidade da esfera na direção
. Vamos precisar entender como a energia potencial se transforma em energia cinética para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do princípio da conservação da energia, que diz que a energia total num sistema isolado permanece constante. Ou seja, a energia que a esfera tem no início (energia potencial devido à altura) vai se transformar em energia cinética quando ela começa a se mover.
A equação geral fica assim:
Onde:
-
é a energia cinética, -
é a energia potencial gravitacional.
Passo 3
Vamos identificar as energias envolvidas. No ponto inicial:
- A esfera está parada, então a energia cinética
. - A energia potencial inicial é
, onde: -
é a massa da esfera, -
é a aceleração da gravidade, -
é a altura total.
-
No ponto final:
- A energia cinética é
, onde é a velocidade na direção . - A energia potencial final é
.
Passo 4
Substituindo na equação da conservação da energia:
Podemos simplificar o
que está em todos os termos:
Passo 5
Agora, vamos isolar
:
Multiplicando ambos os lados por 2 para resolver para
:
Passo 6
Finalizando, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar
:
Resposta
A velocidade da esfera na direção
é
.
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