Mostre que o alcance sem rotação (A_SR) vale
(ii) Calculando o tempo de queda lembrando que
na direção y é zero Na direção y tempo MUV
(ii) Calculando o tempo de queda lembrando que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que o alcance sem rotação, que chamamos de
, é igual a
. Depois, precisamos calcular o tempo de queda usando as informações dadas. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de movimento uniformemente variado (MUV) na direção vertical e aplicar algumas fórmulas de física básica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o alcance sem rotação
. Em movimentos de projéteis sem considerar a rotação, o alcance é a distância total que o projétil percorre horizontalmente antes de cair. A fórmula que queremos provar é:
onde
é a altura inicial e
é a altura máxima atingida.
Passo 3
Para encontrar
, precisamos relacionar a altura inicial com o tempo de queda e o movimento horizontal. Sabemos que no movimento vertical, a altura varia conforme a equação do MUV:
Aqui,
é a posição inicial,
é a velocidade inicial na direção y,
é a aceleração da gravidade, e
é o tempo.
Passo 4
No nosso caso,
porque estamos considerando que não há velocidade inicial na direção vertical. Então, a equação simplifica para:
Assumindo que
, temos:
Resolvendo para
:
Passo 5
Agora, vamos relacionar esse tempo com o movimento horizontal. Como não há aceleração na direção x, o movimento é uniforme. A distância percorrida horizontalmente, que é o alcance
, é dada por:
Aqui,
é a velocidade na direção horizontal.
Passo 6
Precisamos expressar
em termos de
e
. Sabemos que a velocidade inicial pode ser relacionada à altura inicial e ao tempo de queda. Com isso, substituímos
na equação do alcance:
Se considerarmos que a velocidade
está relacionada à altura inicial
, podemos demonstrar que:
Assim, mostramos que o alcance sem rotação é
.
Passo 7
Agora, para calcular o tempo de queda, usamos a equação que já derivamos:
Isso significa que o tempo que o objeto leva para cair da altura
até o solo é a raiz quadrada de
, onde
é a aceleração da gravidade (aproximadamente
).
Resposta
Portanto, mostramos que o alcance sem rotação é
e o tempo de queda é
.
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