Mostre que o alcance sem rotação (A_SR) vale
(ii) Calculando o tempo de queda lembrando que na direção y é zero Na direção y tempo MUV

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que o alcance sem rotação, que chamamos de , é igual a . Depois, precisamos calcular o tempo de queda usando as informações dadas. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de movimento uniformemente variado (MUV) na direção vertical e aplicar algumas fórmulas de física básica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o alcance sem rotação . Em movimentos de projéteis sem considerar a rotação, o alcance é a distância total que o projétil percorre horizontalmente antes de cair. A fórmula que queremos provar é:
onde é a altura inicial e é a altura máxima atingida.

Passo 3

Para encontrar , precisamos relacionar a altura inicial com o tempo de queda e o movimento horizontal. Sabemos que no movimento vertical, a altura varia conforme a equação do MUV:
Aqui, é a posição inicial, é a velocidade inicial na direção y, é a aceleração da gravidade, e é o tempo.

Passo 4

No nosso caso, porque estamos considerando que não há velocidade inicial na direção vertical. Então, a equação simplifica para:
Assumindo que , temos:
Resolvendo para :

Passo 5

Agora, vamos relacionar esse tempo com o movimento horizontal. Como não há aceleração na direção x, o movimento é uniforme. A distância percorrida horizontalmente, que é o alcance , é dada por:
Aqui, é a velocidade na direção horizontal.

Passo 6

Precisamos expressar em termos de e . Sabemos que a velocidade inicial pode ser relacionada à altura inicial e ao tempo de queda. Com isso, substituímos na equação do alcance:
Se considerarmos que a velocidade está relacionada à altura inicial , podemos demonstrar que:
Assim, mostramos que o alcance sem rotação é .

Passo 7

Agora, para calcular o tempo de queda, usamos a equação que já derivamos:
Isso significa que o tempo que o objeto leva para cair da altura até o solo é a raiz quadrada de , onde é a aceleração da gravidade (aproximadamente ).

Resposta

Portanto, mostramos que o alcance sem rotação é e o tempo de queda é .

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