Mostre que, para o átomo de hidrogênio, a diferença entre o comprimento de onda do fóton emitido na transição eletrônica de uma órbita n+1 para uma órbita n e o comprimento de onda do fóton emitido na transição da órbita n para n-1 é dado por:
De
Onde RH é a constante de Rydberg e vale 1,097 times 10^7 m^-1.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um átomo de hidrogênio e queremos encontrar a diferença entre os comprimentos de onda de dois fótons emitidos em duas transições eletrônicas diferentes:
  1. De uma órbita para uma órbita .
  2. De uma órbita para uma órbita .
Para resolver isso, vamos usar a fórmula de Rydberg, que nos dá o comprimento de onda dos fótons emitidos nessas transições. Precisamos entender essa fórmula e como aplicá-la para encontrar a diferença entre os comprimentos de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula de Rydberg para o comprimento de onda 1lambda = RH ( 1nf^2 - 1ni^2 ) de um fóton emitido durante a transição de um elétron no átomo de hidrogênio:
Aqui:
  • é a constante de Rydberg.
  • é o número quântico principal da órbita inicial.
  • é o número quântico principal da órbita final.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula para as duas transições:
  1. Transição de 1lambda1 = RH ( 1n^2 - 1(n+1)^2 ) para 1lambda2 = RH ( 1(n-1)^2 - 1n^2 ) :
  2. Transição de para :

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma expressão para a diferença entre os comprimentos de onda 1lambda1 - 1lambda2 = RH ( 1n^2 - 1(n+1)^2 - ( 1(n-1)^2 - 1n^2 ) ) . Para isso, precisamos manipular as expressões de e :
Primeiro, calculamos :

Passo 5

Simplificando a expressão:
1lambda1 - 1lambda2 = RH ( 1n^2 - 1(n+1)^2 - 1(n-1)^2 + 1n^2 )
= RH ( 2n^2 - 1(n+1)^2 - 1(n-1)^2 )

Passo 6

Para encontrar De, usamos a relação aproximada para pequenas diferenças:
Usando a expressão obtida para , podemos reorganizar os termos para isolar .

Passo 7

Depois de simplificar todas as frações e reorganizar os termos, chegamos à expressão desejada:
De
Ou seja,
De

Resposta

A diferença entre os comprimentos de onda é dada por:
De

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