Mostre que, para o átomo de hidrogênio, a diferença entre o comprimento de onda do fóton emitido na transição eletrônica de uma órbita
para uma órbita
e o comprimento de onda do fóton emitido na transição da órbita n para n-1 é dado por:
Onde
é a constante de Rydberg e vale
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um átomo de hidrogênio e queremos encontrar a diferença entre os comprimentos de onda de dois fótons emitidos em duas transições eletrônicas diferentes:
- De uma órbita
para uma órbita . - De uma órbita
para uma órbita .
Para resolver isso, vamos usar a fórmula de Rydberg, que nos dá o comprimento de onda dos fótons emitidos nessas transições. Precisamos entender essa fórmula e como aplicá-la para encontrar a diferença entre os comprimentos de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula de Rydberg para o comprimento de onda
de um fóton emitido durante a transição de um elétron no átomo de hidrogênio:
Aqui:
-
é a constante de Rydberg. -
é o número quântico principal da órbita inicial. -
é o número quântico principal da órbita final.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula para as duas transições:
-
Transição de
para : -
Transição de
para :
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma expressão para a diferença entre os comprimentos de onda
. Para isso, precisamos manipular as expressões de
e
:
Primeiro, calculamos
:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Passo 6
Para encontrar
, usamos a relação aproximada para pequenas diferenças:
Usando a expressão obtida para
, podemos reorganizar os termos para isolar
.
Passo 7
Depois de simplificar todas as frações e reorganizar os termos, chegamos à expressão desejada:
Ou seja,
Resposta
A diferença entre os comprimentos de onda é dada por: