Mostre que se
e
são matrizes que comutam com a matriz
, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que se duas matrizes
e
comutam com a matriz
, então
e
também comutam entre si. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes que comutam.
Passo 2
Primeiro, sabemos que duas matrizes comutam se a multiplicação delas na ordem
for igual na ordem
, ou seja,
. Nosso objetivo é provar que isso ocorre para
e
dadas as condições do enunciado.
Passo 3
Como
comuta com
, temos:
Da mesma forma, como
comuta com
:
Essas duas equações serão fundamentais para nossa prova.
Passo 4
Vamos multiplicar a primeira equação pela matriz
à direita:
E a segunda equação pela matriz
à esquerda:
Agora temos duas expressões para
:
Passo 5
Sabemos que
é a matriz
, que tem a propriedade de que
, onde
é a matriz identidade. Isso porque:
Passo 6
Voltando à equação
, podemos multiplicar ambos os lados pela inversa de
(que é
) para isolar
. Assim:
Como
, temos:
Passo 7
Sabemos que
. Mas como
e
, podemos reescrever:
Então, substituindo:
Passo 8
A única maneira de
ser verdadeira é se
. Porém, isso só ocorre se
ou
for a matriz nula, o que não necessariamente é o caso. Portanto, a nossa suposição inicial leva a uma contradição a menos que
.
Resposta
Concluímos que
e
comutam, ou seja,
.