Mostre que se A e B são matrizes que comutam com a matriz M=[rr0 & 1 -1 & 0], então A B=B A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que se duas matrizes 0 & 1 -1 & 0 e comutam com a matriz , então e também comutam entre si. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes que comutam.

Passo 2

Primeiro, sabemos que duas matrizes comutam se a multiplicação delas na ordem for igual na ordem , ou seja, . Nosso objetivo é provar que isso ocorre para e dadas as condições do enunciado.

Passo 3

Como AM = MA comuta com BM = MB , temos:
Da mesma forma, como comuta com :
Essas duas equações serão fundamentais para nossa prova.

Passo 4

Vamos multiplicar a primeira equação pela matriz AMB = MAB à direita:
ABM = AMB
E a segunda equação pela matriz MAB = ABM à esquerda:
Agora temos duas expressões para :

Passo 5

Sabemos que 0 & 1 -1 & 0 é a matriz M^2 = 0 & 1 -1 & 0 0 & 1 -1 & 0 = -1 & 0 0 & -1 = -I , que tem a propriedade de que , onde é a matriz identidade. Isso porque:

Passo 6

Voltando à equação -M cdot MAB = -M cdot ABM , podemos multiplicar ambos os lados pela inversa de (-(-I))AB = (-M)(ABM) (que é IAB = MABM ) para isolar . Assim:
Como , temos:

Passo 7

Sabemos que M A B M = M M A B = M^2 A B = -I A B = -AB . Mas como IAB = -AB e AB = -AB , podemos reescrever:
Então, substituindo:

Passo 8

A única maneira de ser verdadeira é se . Porém, isso só ocorre se ou for a matriz nula, o que não necessariamente é o caso. Portanto, a nossa suposição inicial leva a uma contradição a menos que .

Resposta

Concluímos que e comutam, ou seja, .

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