Use operações elementares para transforma as matrizes A e B abaixo em matrizes triangulares superiores. Chame as matrizes encontradas de A^prime e B^prime respectivamente.
(a) A=[rrrr1 & -2 & 3 & 1 5 & -9 & 6 & 3 -1 & 2 & -6 & -2 2 & 8 & 6 & 1]
(b) B=[rrrr2 & 1 & 3 & 1 0 & 2 & 1 & 0 -1 & 2 & -6 & -2 0 & 1 & 2 & 3]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa transformar as matrizes e em matrizes triangulares superiores usando operações elementares. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre operações com matrizes e formas triangulares. Para isso, vamos precisar usar operações como trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero e somar múltiplos de uma linha a outra. Vamos começar com a matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na matriz A = 1 & -2 & 3 & 1 5 & -9 & 6 & 3 -1 & 2 & -6 & -2 2 & 8 & 6 & 1 :
O objetivo é transformar essa matriz em uma matriz triangular superior, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros. Vamos começar eliminando os elementos abaixo do primeiro pivô, que é o 1 na posição .

Passo 3

Para zerar os elementos abaixo do primeiro pivô ( L2 &: 5 - 5(1) = 0, -9 - 5(-2) = 1, 6 - 5(3) = -9, 3 - 5(1) = -2 L3 &: -1 + 1(1) = 0, 2 + 1(-2) = 0, -6 + 1(3) = -3, -2 + 1(1) = -1 L4 &: 2 - 2(1) = 0, 8 - 2(-2) = 12, 6 - 2(3) = 0, 1 - 2(1) = -1 ), vamos fazer as seguintes operações:
  1. Linha 2: A' = 1 & -2 & 3 & 1 0 & 1 & -9 & -2 0 & 0 & -3 & -1 0 & 12 & 0 & -1
  2. Linha 3:
  3. Linha 4:
Vamos aplicar essas operações:
Agora, a matriz fica assim:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o elemento L4 &: 0 - 12(0) = 0, 12 - 12(1) = 0, 0 - 12(-9) = 108, -1 - 12(-2) = 23 para tornar a matriz triangular superior. O pivô agora é A' = 1 & -2 & 3 & 1 0 & 1 & -9 & -2 0 & 0 & -3 & -1 0 & 0 & 108 & 23 .
Operação:
  • Linha 4:
Aplicando:
A matriz agora fica:

Passo 5

Por fim, vamos eliminar o elemento L4 &: 0 + 36(0) = 0, 0 + 36(0) = 0, 108 + 36(-3) = 0, 23 + 36(-1) = -13 usando o pivô A' = 1 & -2 & 3 & 1 0 & 1 & -9 & -2 0 & 0 & -3 & -1 0 & 0 & 0 & -13 .
Operação:
  • Linha 4:
Aplicando:
Assim, a matriz triangular superior fica:

Passo 6

Agora vamos fazer o mesmo para a matriz B = 2 & 1 & 3 & 1 0 & 2 & 1 & 0 -1 & 2 & -6 & -2 0 & 1 & 2 & 3 . Primeiro, vamos olhar para ela:
Nosso objetivo é transformá-la em uma matriz triangular superior . Começaremos eliminando os elementos abaixo do primeiro pivô, que é o 2 na posição .

Passo 7

Para zerar os elementos abaixo do primeiro pivô ( L3 &: -1 + 12(2) = 0, 2 + 12(1) = 2.5, -6 + 12(3) = -4.5, -2 + 12(1) = -1.5 ), vamos fazer as seguintes operações:
  1. Linha 3: B' = 2 & 1 & 3 & 1 0 & 2 & 1 & 0 0 & 2.5 & -4.5 & -1.5 0 & 1 & 2 & 3
Vamos aplicar essa operação:
A matriz fica:

Passo 8

Agora, vamos eliminar o elemento L3 &: 0 - 1.25(0) = 0, 2.5 - 1.25(2) = 0, -4.5 - 1.25(1) = -5.75, -1.5 - 1.25(0) = -1.5 usando o pivô L4 &: 0 - 0(0) = 0, 1 - 0(2) = 1, 2 - 0(1) = 2, 3 - 0(0) = 3 .
Operação:
  • Linha 3: B' = 2 & 1 & 3 & 1 0 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & -5.75 & -1.5 0 & 1 & 2 & 3
  • Linha 4: Já está com , então podemos eliminar também.
Aplicando para a Linha 3:
E para a Linha 4:
Agora, a matriz fica:

Passo 9

Finalmente, vamos eliminar o elemento L4 &: 0 - 12(0) = 0, 1 - 12(2) = 0, 2 - 12(1) = 1.5, 3 - 12(0) = 3 usando o pivô B' = 2 & 1 & 3 & 1 0 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & -5.75 & -1.5 0 & 0 & 1.5 & 3 .
Operação:
  • Linha 4:
Aplicando:
A matriz final triangular superior fica:

Resposta

As matrizes triangulares superiores encontradas são:
A' = 1 & -2 & 3 & 1 0 & 1 & -9 & -2 0 & 0 & -3 & -1 0 & 0 & 0 & -13
e
B' = 2 & 1 & 3 & 1 0 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & -5.75 & -1.5 0 & 0 & 1.5 & 3

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