Quais das seguintes matrizes estão na forma linha reduzida à forma escada?
(a) A=[rrrrr1 & 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & 0 & -4 0 & 0 & 0 & 1 & 2]
© B=[rrrrr0 & 1 & 0 & 0 & -4 0 & 0 & 1 & 0 & 5 0 & 0 & 0 & -1 & 2]
(b) C=[lllll1 & 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & 0 & 0]
(d) D=[rrrrr0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 2 & -4 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0]

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de matrizes onde precisamos identificar quais delas estão na forma linha reduzida à forma escada. Esse assunto faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre Matriz em Forma Escalonada e Forma Reduzida. Para resolver, vamos verificar cada uma das matrizes fornecidas e ver se elas cumprem os critérios dessa forma.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a forma linha reduzida à forma escada. Uma matriz está nessa forma se ela satisfaz os seguintes critérios:
  1. Pivôs: O primeiro número diferente de zero em cada linha (chamado de pivô) está à direita do pivô da linha acima.
  2. Zeros acima e abaixo dos pivôs: Cada pivô é o único número diferente de zero na sua coluna.
  3. Linhas nulas: Se existir uma linha totalmente composta por zeros, ela deve estar na parte inferior da matriz.

Passo 3

Vamos analisar cada matriz uma por uma:

Matriz (a) A

A = 1 & 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & 0 & -4 0 & 0 & 0 & 1 & 2
  • Pivôs: 1 na primeira coluna, 1 na terceira coluna, e 1 na quarta coluna.
  • Posição dos pivôs: Cada pivô está à direita do pivô da linha anterior.
  • Zeros acima e abaixo: Cada pivô é o único não-zero na sua coluna.
Conclusão: A matriz A está na forma linha reduzida à forma escada.

Passo 4

Matriz © B

B = 0 & 1 & 0 & 0 & -4 0 & 0 & 1 & 0 & 5 0 & 0 & 0 & -1 & 2
  • Pivôs: 1 na segunda coluna, 1 na terceira coluna, e -1 na quarta coluna.
  • Posição dos pivôs: Cada pivô está à direita do pivô da linha anterior.
  • Zeros acima e abaixo: Cada pivô é o único não-zero na sua coluna.
Conclusão: A matriz B está na forma linha reduzida à forma escada.

Passo 5

Matriz (b) C

C = 1 & 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & 0 & 0
  • Pivôs: 1 na primeira coluna, 1 na terceira coluna, e 1 na quarta coluna.
  • Posição dos pivôs: Cada pivô está à direita do pivô da linha anterior.
  • Zeros acima e abaixo: Cada pivô é o único não-zero na sua coluna.
  • Linha nula: Está na parte inferior da matriz.
Conclusão: A matriz C está na forma linha reduzida à forma escada.

Passo 6

Matriz (d) D

D = 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 2 & -4 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0
  • Pivôs: 1 na terceira coluna e 1 na quarta coluna.
  • Posição dos pivôs: O pivô na quarta coluna está à direita do pivô na terceira coluna.
  • Zeros acima e abaixo: O pivô na quarta coluna tem um número diferente de zero acima dele na mesma coluna (na segunda linha, temos o número 2).
Conclusão: A matriz D não está na forma linha reduzida à forma escada porque há um número diferente de zero acima do pivô na quarta coluna.

Resposta

As matrizes A, B e C estão na forma linha reduzida à forma escada.

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