Mostre que (A-B)^T=A^T-B^T (Dica: Use as propriedades da adição e da multiplicação por escalar da transposta).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que . Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre propriedades de transposta de matrizes. Para resolver, vamos usar as propriedades da adição e da multiplicação por escalar aplicadas à transposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transposta de uma matriz. A transposta de uma matriz , denotada por , é a matriz obtida trocando as linhas pelas colunas de . Por exemplo, se tem uma linha , sua transposta terá uma coluna .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a definição de transposta na expressão . Segundo a definição, isso significa trocar as linhas e colunas da matriz .

Passo 4

Para facilitar, vamos lembrar que a transposta de uma soma de matrizes é igual à soma das transpostas. Ou seja, . Além disso, a transposta de uma matriz multiplicada por um escalar é igual ao escalar multiplicado pela transposta da matriz: .

Passo 5

Aplicando essas propriedades, podemos escrever:
(A - B)^T = A^T + (-1)B^T
Aqui, subtraímos de , o que é o mesmo que adicionar .

Passo 6

Simplificando a expressão, temos:
A^T + (-1)B^T = A^T - B^T
Portanto, mostramos que .

Resposta

(A - B)^T = A^T - B^T

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