Mostre que
(Dica: Use as propriedades da adição e da multiplicação por escalar da transposta).
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que
. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre propriedades de transposta de matrizes. Para resolver, vamos usar as propriedades da adição e da multiplicação por escalar aplicadas à transposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transposta de uma matriz. A transposta de uma matriz
, denotada por
, é a matriz obtida trocando as linhas pelas colunas de
. Por exemplo, se
tem uma linha
, sua transposta terá uma coluna
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a definição de transposta na expressão
. Segundo a definição, isso significa trocar as linhas e colunas da matriz
.
Passo 4
Para facilitar, vamos lembrar que a transposta de uma soma de matrizes é igual à soma das transpostas. Ou seja,
. Além disso, a transposta de uma matriz multiplicada por um escalar
é igual ao escalar multiplicado pela transposta da matriz:
.
Passo 5
Aplicando essas propriedades, podemos escrever:
Aqui, subtraímos
de
, o que é o mesmo que adicionar
.
Passo 6
Simplificando a expressão, temos:
Portanto, mostramos que
.