Mostre, com base nas considerações do volume excluído por 1 par de moléculas de raio r, que o covolume da equação de Van der Waals é igual a 4 vezes o volume próprio de um mol de moléculas.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que o covolume na equação de Van der Waals é igual a 4 vezes o volume próprio de um mol de moléculas. Para isso, vamos usar o conceito de volume excluído por um par de moléculas com raio . A matéria aqui é Termodinâmica, especificamente a equação de Van der Waals, que ajusta a equação dos gases ideais levando em conta o tamanho das moléculas e as interações entre elas. Vamos precisar entender o que é volume excluído e como calcular o covolume a partir dele.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que na equação de Van der Waals, o termo representa o covolume, que é o volume efetivamente ocupado pelas moléculas no gás. Mas as moléculas não ocupam apenas o seu próprio volume; elas também “excluem” espaço adicional porque não podem se sobrepor. Esse espaço extra é chamado de volume excluído.

Passo 3

O volume excluído por um par de moléculas é a quantidade de espaço que duas moléculas não podem ocupar juntas devido ao seu tamanho. Se considerarmos duas moléculas esféricas de raio , o volume excluído delas é equivalente ao volume de uma esfera com raio , pois é a distância máxima entre os centros das moléculas para que elas não se sobreponham.

Passo 4

Calculando o volume excluído por par de moléculas:
Vexcluído por par = 43 pi (2r)^3 = 43 pi 8r^3 = 323 pi r^3 í

Passo 5

Agora, vamos relacionar esse volume excluído ao covolume b = 12 times Vexcluído por par times NA . O covolume é definido como metade do volume excluído por todas as pares possíveis de moléculas no mol. Isso porque cada par é contado duas vezes quando consideramos todas as combinações possíveis.
Matematicamente:
í
Onde é o número de Avogadro, representando o número de moléculas em um mol.

Passo 6

Substituindo o volume excluído por par na expressão de b = 12 times 323 pi r^3 times NA = 163 pi r^3 times NA :

Passo 7

O volume próprio de um mol de moléculas, Vpróprio = 43 pi r^3 times NA ó, é dado por:
ó

Passo 8

Comparando b = 163 pi r^3 times NA = 4 times ( 43 pi r^3 times NA ) = 4 times Vpróprio e ó:
ó

Resposta

Portanto, o covolume na equação de Van der Waals é igual a 4 vezes o volume próprio de um mol de moléculas.

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