Mostre, com base nas considerações do volume excluído por 1 par de moléculas de raio
, que o covolume da equação de Van der Waals é igual a 4 vezes o volume próprio de um mol de moléculas.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que o covolume na equação de Van der Waals é igual a 4 vezes o volume próprio de um mol de moléculas. Para isso, vamos usar o conceito de volume excluído por um par de moléculas com raio
. A matéria aqui é Termodinâmica, especificamente a equação de Van der Waals, que ajusta a equação dos gases ideais levando em conta o tamanho das moléculas e as interações entre elas. Vamos precisar entender o que é volume excluído e como calcular o covolume a partir dele.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que na equação de Van der Waals, o termo
representa o covolume, que é o volume efetivamente ocupado pelas moléculas no gás. Mas as moléculas não ocupam apenas o seu próprio volume; elas também “excluem” espaço adicional porque não podem se sobrepor. Esse espaço extra é chamado de volume excluído.
Passo 3
O volume excluído por um par de moléculas é a quantidade de espaço que duas moléculas não podem ocupar juntas devido ao seu tamanho. Se considerarmos duas moléculas esféricas de raio
, o volume excluído delas é equivalente ao volume de uma esfera com raio
, pois é a distância máxima entre os centros das moléculas para que elas não se sobreponham.
Passo 4
Calculando o volume excluído por par de moléculas:
Passo 5
Agora, vamos relacionar esse volume excluído ao covolume
. O covolume é definido como metade do volume excluído por todas as pares possíveis de moléculas no mol. Isso porque cada par é contado duas vezes quando consideramos todas as combinações possíveis.
Matematicamente:
Onde
é o número de Avogadro, representando o número de moléculas em um mol.
Passo 6
Substituindo o volume excluído por par na expressão de
:
Passo 7
O volume próprio de um mol de moléculas,
, é dado por:
Passo 8
Comparando
e
:
Resposta
Portanto, o covolume
na equação de Van der Waals é igual a 4 vezes o volume próprio de um mol de moléculas.