Um bastão fino com densidade linear de carga uniforme
está no eixo
entre
. Mostre que o componente
do campo elétrico em um ponto
na o eixo y é dado por
onde
é o ângulo entre o eixo
e reta que conecta o ponto
e a extremidade do bastão em
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um bastão fininho, com carga distribuída de forma uniforme ao longo dele, entre o ponto
e
no eixo
. Queremos descobrir qual é a componente
do campo elétrico em um ponto
que está no eixo
(ou seja, nas coordenadas
). Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de eletrostática, especificamente sobre como calcular o campo elétrico gerado por uma distribuição contínua de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico gerado por uma pequena parte de carga
num ponto
é dado pela fórmula:
onde
é a constante eletrostática,
é a distância entre a carga
e o ponto
, e
é o vetor unitário na direção de
.
Passo 3
Como a carga está distribuída ao longo do bastão, podemos expressar
em termos da densidade linear de carga
:
Isso significa que uma pequena seção do bastão com comprimento
tem uma carga
.
Passo 4
Agora, vamos achar a distância
entre uma posição
no bastão e o ponto
no eixo
. Usando o teorema de Pitágoras:
E o ângulo
entre o eixo
e a linha que liga
a
é tal que:
Passo 5
O campo elétrico diferencial
na direção
causado por
é:
Substituindo
e as expressões que encontramos:
Passo 6
Para encontrar o campo elétrico total
, precisamos integrar
de
até
:
Passo 7
Vamos resolver a integral. Fazendo a substituição
, então
ou
. A integral fica:
Simplificando:
Passo 8
Observando que:
Podemos reescrever a expressão de
:
Resposta
O componente
do campo elétrico no ponto
é dado por