Um bastão fino com densidade linear de carga uniforme lambda está no eixo x entre x=0 e x=a. Mostre que o componente y do campo elétrico em um ponto P na o eixo y é dado por
Ey=k lambday sin theta1=k lambday araizy^2+a^2
onde thetal é o ângulo entre o eixo y e reta que conecta o ponto P e a extremidade do bastão em x=a.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um bastão fininho, com carga distribuída de forma uniforme ao longo dele, entre o ponto e no eixo . Queremos descobrir qual é a componente do campo elétrico em um ponto que está no eixo (ou seja, nas coordenadas ). Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de eletrostática, especificamente sobre como calcular o campo elétrico gerado por uma distribuição contínua de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico gerado por uma pequena parte de carga dE = k dqr^2 r num ponto é dado pela fórmula:
onde é a constante eletrostática, é a distância entre a carga e o ponto , e é o vetor unitário na direção de .

Passo 3

Como a carga está distribuída ao longo do bastão, podemos expressar dq = lambda dx em termos da densidade linear de carga :
Isso significa que uma pequena seção do bastão com comprimento tem uma carga .

Passo 4

Agora, vamos achar a distância r = raizx^2 + y^2 entre uma posição sin theta = xraizx^2 + y^2 no bastão e o ponto no eixo . Usando o teorema de Pitágoras:
E o ângulo entre o eixo e a linha que liga a é tal que:

Passo 5

O campo elétrico diferencial dEy = dE sin theta = k dqr^2 sin theta na direção dEy = k lambda dxx^2 + y^2 cdot xraizx^2 + y^2 = k lambda x , dx(x^2 + y^2)^3/2 causado por é:
Substituindo e as expressões que encontramos:

Passo 6

Para encontrar o campo elétrico total Ey = k lambda integral0^a x , dx(x^2 + y^2)^3/2 , precisamos integrar de até :

Passo 7

Vamos resolver a integral. Fazendo a substituição Ey = k lambda integraly^2^a^2 + y^2 12 u^-3/2 du = k lambda2 [ -2 u^-1/2 ]y^2^a^2 + y^2 , então Ey = k lambda ( 1raizy^2 - 1raiza^2 + y^2 ) = k lambday ( 1 - yraiza^2 + y^2 ) ou . A integral fica:
Simplificando:

Passo 8

Observando que:
sin theta1 = araiza^2 + y^2
Podemos reescrever a expressão de Ey = k lambday cdot araiza^2 + y^2 :

Resposta

O componente Ey = k lambday cdot araizy^2 + a^2 do campo elétrico no ponto é dado por

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